[论文解读] On the subvarieties with nonsingular real loci of a real algebraic variety

Olivier Benoist|arXiv (Cornell University)|May 13, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 46被引用 4

一句话总结

本文研究光滑射影实代数簇中实轨迹非奇异的子簇，证明其同调类在余维数与维数满足维数小于余维数的配对时生成查沃群。证明此类子簇可在相同条件下逼近实轨迹上的光滑子流形，并通过cobordism与同调类提供维数至少等于余维数时的精确障碍，解决了关于查沃群生成与实逼近的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth projective real algebraic variety. We give new positive and negative results on the problem of approximating a submanifold of the real locus of $X$ by real loci of subvarieties of $X$, as well as on the problem of determining the subgroups of the Chow groups of $X$ generated by subvarieties with nonsingular real loci, or with empty real loci.

研究动机与目标

• 确定光滑射影实代数簇的查沃群是否由在实轨迹上光滑的子簇类生成。
• 研究实轨迹上的光滑子流形能否被实轨迹非奇异的子簇的实轨迹逼近。
• 以实轨迹为空的子簇来刻画Borel–Haefliger周期类映射的核。
• 确定同调障碍与cobordism障碍在实代数逼近中何时一致。
• 解决实代数几何中关于逼近、同调与cobordism障碍等价性的开放问题。

提出的方法

• 改编Hironaka的光滑化技术并加以改进，以控制实轨迹并处理维数超过3时的奇点。
• 运用Peskine–Szpiro与Huneke–Ulrich的联络理论，构造具有受控实轨迹的子簇。
• 应用双点公式与陈类可除性（源自Rees–Thomas）来阻碍查沃群的生成。
• 利用Borel–Haefliger周期类映射，将代数周期与实同调类联系起来。
• 应用Arf与Ragozini的同伦定理，构造逼近给定子流形的光滑超曲面。
• 利用cobordism理论与同构 $ MO_d(X(bR)) \cong (H_{d-2}(X(bR),\bbZ/2) \otimes MO_2) \oplus H_d^\mathrm{alg}(X(bR),\bbZ/2) $ 比较障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\mathrm{CH}_d(X)$ 由在实轨迹上光滑的子簇类生成时，条件为何？
• RQ2 每个 $\mathcal{C}^\infty$ 子流形是否都能被实轨迹非奇异的子簇的实轨迹逼近？
• RQ3 同调障碍 $(H)$ 与cobordism障碍 $(B)$ 在何时一致？
• RQ4 实轨迹非奇异的子簇无法生成查沃群的精确条件为何？
• RQ5 当 $d < c$ 时，Borel–Haefliger核是否由实轨迹为空的子簇类生成？

主要发现

• 当 $d < c$ 时，查沃群 $\mathrm{CH}_d(X)$ 由在实轨迹上光滑的子簇类生成，将Hironaka的结果推广至实代数几何。
• 当 $d \geq c$ 且 $\alpha(c+1) \geq 3$ 时，存在实数域上的阿贝尔簇 $X$，使得 $\mathrm{CH}_d(X)$ 不由此类类生成，证明了 $d < c$ 条件的最优性。
• 在 $\mathbb{C}$ 上，相同条件 $\alpha(c+1) \geq 3$ 也导致光滑射影簇，使得 $\mathrm{CH}_d(X)$ 不由光滑子簇类生成。
• 当 $d < c$ 时，Borel–Haefliger映射的核由实轨迹为空的子簇类生成。
• 当 $d \leq 2$，或 $c \leq 1$，或 $d = 2$ 且 $c \geq 3$ 时，同调障碍 $(H)$ 与cobordism障碍 $(B)$ 一致。
• 当 $c = d = 2$ 时，存在 $(H)$ 成立但 $(A)$ 失败的例子，表明即使同调类是代数的，逼近仍可能受阻。