[论文解读] On the supersingular K3 surface in characteristic 5 with Artin invariant 1

Toshiyuki Katsura, Shigeyuki Kondō+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文在特征5、Artin不变量为1的上奇异K3曲面上构造了三个不同的射影模型，识别出最小次数的光滑有理曲线并计算了其自同构群。通过在上特殊阿贝尔曲面上使用一条亏格5的双曲曲线，首次在K3曲面上构造出96条互不相交的有理曲线的(16₁₂)配置，这是首个已知的此类配置。

ABSTRACT

We present three interesting projective models of the supersingular K3 surface X in characteristic 5 with Artin invariant 1. For each projective model, we determine smooth rational curves on X with the minimal degree and the projective automorphism group. Moreover, by using the superspecial abelian surface, we construct six sets of 16 disjoint smooth rational curves on X, and show that they form a beautiful configuration.

研究动机与目标

• 构造特征5、Artin不变量为1的上奇异K3曲面的三个不同射影模型。
• 确定每个模型上光滑有理曲线的最小次数，并在自同构群作用下对其进行分类。
• 在该曲面上构造一个由16条互不相交有理曲线组成的配置，并分析其几何与群论性质。
• 证明K3曲面上存在一个(16₁₂)配置，这是首个非Kummer曲面构造的实例。

提出的方法

• 作者使用Borcherds方法及Leech格的几何性质，构造并验证了对应于双覆盖$\mathbb{P}^2$（分支于Fermat六次曲线$x^6 + y^6 + z^6 = 0$）的极化工序$h_F$。
• 通过群论与格论约束，分析Néron-Severi格及其对偶，识别出度数分别为60和80的极化$h_1$与$h_2$。
• 通过群作用确定各模型的自同构群：$\operatorname{Aut}(X,h_F)$是$\mathrm{PGU}(3,\mathbb{F}_{25})$关于$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的中心扩张，$\operatorname{Aut}(X,h_1) \cong \mathfrak{A}_8$，且$\operatorname{Aut}(X,h_2) \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4 \rtimes (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathfrak{S}_4)$。
• 利用上特殊阿贝尔曲面与一条亏格5的双曲曲线构造96条有理曲线的配置，并为这些曲线提供了显式有理映射。
• 通过证明在$\operatorname{Aut}(X,h_2)$作用下，96条曲线分解为两个大小均为48的轨道，且每组16条曲线构成一个$16_{12}$-配置，从而确立了(16₁₂)配置的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 特征5、Artin不变量为1的上奇异K3曲面的射影模型是什么？其定义极化为何？
• RQ2 每个模型上光滑有理曲线的最小次数是多少？它们在自同构群作用下的分布如何？
• RQ3 能否在该K3曲面上构造一个由16条互不相交有理曲线组成的配置，使得每条曲线恰好与另外12条相交，形成(16₁₂)配置？
• RQ4 自同构群在三个模型中对有理曲线的作用有何不同？
• RQ5 该(16₁₂)配置是否可实现在非Kummer曲面构造的K3曲面上？

主要发现

• 双覆盖模型$(X, h_F)$是$\mathbb{P}^2$关于Fermat六次曲线$x^6 + y^6 + z^6 = 0$的2度覆盖，$h_F$为直线的拉回，且恰好包含252条度数为1的光滑有理曲线。
• $\operatorname{Aut}(X, h_F)$是$\mathrm{PGU}(3,\mathbb{F}_{25})$关于$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的中心扩张，且在252条度数为1的有理曲线上作用传递。
• 模型$(X, h_1)$的自同构群同构于交错群$\mathfrak{A}_8$，且恰好包含168条度数为5的光滑有理曲线，群在其上作用传递。
• 模型$(X, h_2)$的自同构群阶为1152，同构于$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4 \rtimes (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathfrak{S}_4)$，且包含96条度数为5的光滑有理曲线，分解为两个大小均为48的轨道。
• $(X, h_2)$中的96条有理曲线构成一个(16₁₂)配置：存在六组16条互不相交的曲线，每组中每条曲线恰好与其余12条相交，这是K3曲面上首个已知的此类配置。