[论文解读] On the support genus of a contact structure

M. Firat Arikan|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文提出了一种改进的算法，用于构造支持接触3-流形的开书分解，利用Giroux的接触胞腔分解，显著降低了页面的亏格。通过构造接触胞腔分解的1-骨架的ribbbon，该方法为支持亏格不变量 $sg(\xi)$ 提供了更紧的上界，将右图三叶草的上界从6降低至3，将八字结的上界从10降低至3（在接触手术下）。

ABSTRACT

The algorithm given by Akbulut-Ozbagci constructs an explicit open book decomposition on a contact three-manifold described by a contact surgery on a link in the three-sphere. In this article, we will improve this algorithm by using Giroux's contact cell decomposition process. Our algorithm is more economical on choosing the supporting genus of the open book; in particular it gives a good upper bound for the recently defined ``minimal supporting genus invariant'' of contact structures.

研究动机与目标

• 改进紧致接触3-流形的支持亏格不变量 $sg(\xi)$ 的上界。
• 提供一种比Akbulut-Ozbagci和Stipsicz更高效的算法，用于构造页面亏格更低的支撑开书。
• 利用Giroux的接触胞腔分解，构造页面亏格更低的开书，同时保持Legendrian框架和接触结构的相容性。
• 证明所得到的开书页面的亏格严格小于先前构造中使用的扭链链接Seifert曲面的亏格。

提出的方法

• 构造 $(S^3, \xi_{st})$ 的接触胞腔分解 $\Delta$，使得Legendrian链 $L$ 位于1-骨架 $G=\Delta^1$ 上。
• 将开书的页面 $F$ 定义为1-骨架 $G$ 的ribbbon，其为扭链链接Seifert曲面 $F_{p,q}$ 的子曲面。
• 通过仔细构造鞍面盘和1-柄，确保 $L$ 在 $F$ 上的框架与接触框架 $tb(L)$ 匹配。
• 通过沿鞍面盘边界曲线 $\gamma_k$ 的正Dehn扭转 $t_{\gamma_k}$ 定义单行变换 $h = t_{\gamma_1} \circ \cdots \circ t_{\gamma_n}$。
• 应用定理2.5，将开书扩展至通过 $\pm1$-接触手术在 $L$ 上得到的接触流形，同时保持页面 $F$ 不变。
• 通过合并正方形桥图中相邻的矩形来优化分解，以减少1-柄数量，从而降低亏格。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为通过接触手术得到的接触3-流形构造出更高效的开书分解，使得页面亏格低于先前构造中使用的扭链链接Seifert曲面？
• RQ2 使用Giroux的接触胞腔分解是否能为紧致接触结构的支持亏格 $sg(\xi)$ 提供更紧的上界？
• RQ3 对于 $p>3$，$q>3$，能否构造出页面亏格严格小于 $g(F_{p,q})$ 的开书，同时保持手术链的Legendrian类型和接触框架？
• RQ4 接触胞腔分解的1-骨架的ribbbon亏格与对应扭链链接Seifert曲面的亏格相比如何？

主要发现

• 对于Legendrian右图三叶草，新方法得到的开书页面亏格为3，优于先前通过 $(5,5)$-扭链链接Seifert曲面得到的上界6。
• 对于Legendrian八字结，页面亏格降低至3，显著优于先前通过 $(6,6)$-扭链链接Seifert曲面得到的上界10。
• 当 $p>3$ 且 $q>3$ 时，接触胞腔分解得到的ribbbon $F$ 的亏格严格小于 $g(F_{p,q})$，证实了对 $sg(\xi)$ 上界的严格改进。
• 所得到的开书的单行变换由沿曲线 $\gamma_k$ 的正Dehn扭转的复合给出，确保与标准接触结构相容。
• 该构造保持了Legendrian链 $L$ 的接触框架，确保对 $L$ 进行 $\pm1$-接触手术后，可得到一个具有相同页面 $F$ 的良好定义的开书。
• 该方法提供了一种系统化的方法，通过优化接触胞腔分解并合并鞍面盘，构建具有最小亏格页面的支撑开书。