[论文解读] On the Support of Physical Measures in Gauge Theories

Christian Fleischhack|ArXiv.org|Sep 26, 2001

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 65被引用 5

一句话总结

本文证明了在二维规范场论中，物理的杨-米尔斯测度相对于阿什泰卡尔-列万多夫斯基的运动学测度是纯粹奇异的，表明通过作用量指数形式构造物理测度的标准方法失效。奇异性的根源在于物理测度的支撑集与运动学测度的支撑集在规范轨道空间中不同，这一结论通过将配置空间显式分解为支撑集而得以证明。

ABSTRACT

It is proven that the physical measure for the two-dimensional Yang-Mills theory is purely singular with respect to the kinematical Ashtekar-Lewandowski measure. For this, an explicit decomposition of the gauge orbit space into supports of these two measures is given. Finally, the results are extended to more general (e.g. confining) theories. Such a singularity implies, in particular, that the standard method of determining the physical measure via ``exponential of minus the action times kinematical measure'' is not applicable.

研究动机与目标

• 确定二维规范场论中物理杨-米尔斯测度与运动学阿什泰卡尔-列万多夫斯基测度之间的关系。
• 研究通过 exp(−S) × μ₀ 方式构造物理测度的标准方法是否有效。
• 分析物理测度的支撑结构及其对量子化的影响。
• 将结果推广至更一般的规范场论（如禁闭型场论）。

提出的方法

• 显式地将规范轨道空间分解为互不相交的子集，分别构成阿什泰卡尔-列万多夫斯基测度与杨-米尔斯测度的支撑集。
• 利用广义联络的投影极限构造与全息代数，定义了在广义联络空间上的运动学测度 μ₀。
• 通过威尔逊环变量与全息映射，利用格点测度的弱极限定义物理测度 μ_YM。
• 利用结构群 G 中单位元附近的 A d-不变范数与邻域，构造 μ₀-零测集以捕捉光滑联络。
• 通过构造一组具有共同交集的收缩环，构造一个包含所有光滑联络的 μ_YM-零测集，从而证明其 μ_YM 测度为零。
• 通过证明物理测度的支撑集与 μ₀ 的支撑集互不相交，从而确立测度之间的奇异关系，尽管两者均定义在相同的配置空间上。

实验结果

研究问题

• RQ1 物理杨-米尔斯测度是否关于阿什泰卡尔-列万多夫斯基测度绝对连续？
• RQ2 物理测度能否通过杨-米尔斯作用量指数乘以运动学测度的方式构造？
• RQ3 在二维杨-米尔斯理论中，物理测度的支撑结构是什么？
• RQ4 光滑联络的支撑集与物理测度之间有何关系？
• RQ5 这些结果能否推广至更一般的规范场论（如禁闭型场论）？

主要发现

• 物理杨-米尔斯测度 μ_YM 与阿什泰卡尔-列万多夫斯基测度 μ₀ 之间为纯粹奇异关系，即两者互为奇异测度。
• μ_YM 的支撑集包含于典型联络中，而 μ₀ 对典型部分与非典型部分均赋予全测度，但 μ_YM 对非典型部分与光滑联络子集赋予零测度。
• 光滑联络的集合是一个 μ_YM-零测集，表明物理态不由光滑规范场表示。
• 测度 μ_YM 支撑于规范轨道空间的一个子集上，该子集与 μ₀ 的支撑集互不相交，从而确认了奇异关系。
• 标准构造 μ_YM = exp(−S_YM) dμ₀ 无效，因为两测度彼此之间不绝对连续。
• 结果可推广至更一般的规范场论，包括禁闭型场论，表明此类奇异关系是规范场论中物理测度的一般特征。