[论文解读] On the surjectivity properties of perturbations of maximal monotone operators in non-reflexive Banach spaces

M. Marques Alves, B. F. Svaiter|ArXiv.org|May 29, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 20被引用 14

一句话总结

本文通过将 Rockafellar 在一致凸空间中的满射性结果推广至非自反 Banach 空间，建立了非自反 Banach 空间中极大单调算子扰动的满射性准则。利用 Gossez 的扩展对偶映射和 Fitzpatrick 函数理论，证明了当极大单调算子 $ T $ 被对偶映射 $ J $ 扰动时，其满射性成立，该结果通过 Fitzpatrick 函数涉及的某类下确界卷积条件，将满射性与等价关系统一，从而推广了自反情形的结果。

ABSTRACT

We are concerned with surjectivity of perturbations of maximal monotone operators in non-reflexive Banach spaces. While in a reflexive setting, a classical surjectivity result due to Rockafellar gives a necessary and sufficient condition to maximal monotonicity, in a non-reflexive space we characterize maximality using a ``enlarged'' version of the duality mapping, introduced previously by Gossez.

研究动机与目标

• 将 Rockafellar 在自反空间中关于极大单调算子的满射性结果，从自反空间推广至非自反空间。
• 利用 Gossez 的扩展对偶映射，刻画非自反空间中单调算子的极大性。
• 建立算子 $ T + J $ 满射性的必要与充分条件，其中 $ T $ 为极大单调算子，$ J $ 为对偶映射。
• 通过 Fitzpatrick 函数技术与对偶积不等式，统一非自反空间中极大单调性的理论。

提出的方法

• 利用 Gossez 的扩展对偶映射 $ J_\varepsilon $，将单调性准则推广至非自反 Banach 空间。
• 采用 Fitzpatrick 函数 $ \varphi_T $ 及其相关族 $ \mathcal{F}_T $，通过凸函数表示极大单调算子。
• 应用 Fenchel-Young 不等式与共轭对偶性，将次微分包含关系与涉及 $ \varphi_T $ 的逐点不等式联系起来。
• 基于将算子平移 $ (x_0, x_0^*) $ 的扰动方法，分析所得函数 $ h_{(x_0,x_0^*)} $。
• 利用 $ \varepsilon > 0 $ 的极限论证，证明函数 $ g_{(x_0,x_0^*)}(x,x^*) + \frac{1}{2}\|x\|^2 + \frac{1}{2}\|x^*\|^2 $ 的下确界为零。
• 建立 $ T + J $ 满射性与条件 $ \inf_{x,x^*} g_{(x_0,x_0^*)}(x,x^*) + \frac{1}{2}\|x\|^2 + \frac{1}{2}\|x^*\|^2 = 0 $ 的等价性，其中对所有 $ g \in \mathcal{F}_T $ 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非自反 Banach 空间中，当 $ T $ 为极大单调算子且 $ J $ 为对偶映射时，扰动 $ T + J $ 在何种条件下是满射的？
• RQ2 Rockafellar 在自反空间中的经典满射性结果，如何推广至非自反情形？
• RQ3 Gossez 的扩展对偶映射 $ J_\varepsilon $ 在刻画非自反 Banach 空间中极大性与满射性方面起什么作用？
• RQ4 是否存在一个等价条件，通过 Fitzpatrick 函数及其共轭函数表达 $ T + J $ 的满射性？
• RQ5 能否通过 Fitzpatrick 函数与范数平方的下确界卷积条件，刻画 $ T + J $ 的满射性？

主要发现

• 在非自反 Banach 空间中，$ T + J $ 的满射性等价于：对所有 $ g \in \mathcal{F}_T $ 与所有 $ (x_0,x_0^*) \in T $，有 $ \inf_{x,x^*} g_{(x_0,x_0^*)}(x,x^*) + \frac{1}{2}\|x\|^2 + \frac{1}{2}\|x^*\|^2 = 0 $。
• 该满射性与下确界条件之间的等价性在所有 $ (x_0,x_0^*) \in T $ 上一致成立，从而将 Rockafellar 的结果推广至非自反空间。
• 证明表明，若下确界条件成立，则存在 $ (\bar{x}, \bar{x}^*) \in T $，使得 $ \|\tilde{x} - \bar{x}\| < \varepsilon $ 且 $ \|\tilde{x}^* - \bar{x}^*\| < \varepsilon $，从而保证近似解可提升为精确解。
• 对所有 $ (x^*, x^{**}) \in X^* \times X^{**} $，条件 $ \inf_{(y,y^*) \in T} \langle x^{**} - y, x^* - y^* \rangle \leq 0 $ 刻画了类型 (NI) 算子，该条件等价于 $ T + J $ 的满射性。
• Fitzpatrick 函数 $ \varphi_T $ 及其共轭在刻画 $ T + J $ 的满射性中起核心作用，且在 $ T $ 中的点处满足等式 $ \varphi_T(x,x^*) = \langle x, x^* \rangle $。