[论文解读] On the T-leaves of some Poisson structures related to products of flag varieties

Jiang-Hua Lu, Victor Mouquin|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 38被引用 5

一句话总结

本文为李双代数作用与拟三角r-矩阵所生成的泊松结构中的T-叶及其叶稳定子建立了一般理论，随后将其应用于复半单李群G的旗流形及其相关空间的乘积上的四类全纯泊松结构。关键结果是将T-叶完整描述为扩展Richardson流形与扩展双Bruhat胞腔的并集，通过李代数作用与r-矩阵几何，显式计算了叶稳定子与辛叶维数。

ABSTRACT

For a connected abelian Lie group T acting on a Poisson manifold (Y,π) by Poisson isomorphisms, the T-leaves of π in Y are, by definition, the orbits of the symplectic leaves of π under T, and the leaf stabilizer of a T-leaf is the subspace of the Lie algebra of T that is everywhere tangent to all the symplectic leaves in the T-leaf. In this paper, we first develop a general theory on T-leaves and leaf stabilizers for a class of Poisson structures defined by Lie bialgebra actions and quasitriangular r-matrices. We then apply the general theory to four series of holomorphic Poisson structures on products of flag varieties and related spaces of a complex semi-simple Lie group G. We describe their T-leaf decompositions, where T is a maximal torus of G, in terms of (open) extended Richardson varieties and extended double Bruhat cells associated to conjugacy classes of G, and we compute their leaf stabilizers and the dimension of the symplectic leaves in each T -leaf.

研究动机与目标

• 开发一个分析阿贝尔群作用下泊松流形中T-叶及其稳定子的一般框架。
• 描述复半单李群G的旗流形及其相关空间乘积上四类全纯泊松结构的T-叶分解。
• 利用李双代数与r-矩阵结构，计算每个T-叶内叶稳定子与辛叶维数。
• 建立T-叶与组合对象（如扩展Richardson流形与扩展双Bruhat胞腔）之间的联系。

提出的方法

• 利用李双代数作用与拟三角r-矩阵理论，在G及其商空间上定义泊松结构。
• 将一般框架应用于四类特定泊松结构：(F_n, π_n)、(F̃_n, Π_n)、(F̃_n, π̃_n) 与 (F̃_n, Π̃_n)，其中 n ≥ 1。
• 通过G及其齐次空间的轨道分解，将T-叶识别为在极大环面T作用下辛叶的并集。
• 通过r-矩阵与拉格朗日子空间分解导出的映射 (wθ + 1) 在Cartan子代数上的像，计算叶稳定子。
• 依赖于稳定子子代数关于对称双线性型为拉格朗日子代数的性质，以确保与泊松结构的相容性。
• 采用泊松T-Pfaffian的概念，由π与稳定子的补空间中的向量场构造，以确定每个T-叶上π的余秩。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地描述旗流形乘积上泊松结构的T-叶分解？
• RQ2 此类泊松流形中每个T-叶的叶稳定子结构为何？
• RQ3 每个T-叶内辛叶与扩展Richardson流形及双Bruhat胞腔有何关系？
• RQ4 每个T-叶中辛叶的维数是多少？其与叶稳定子有何关联？
• RQ5 拟三角r-矩阵结构如何控制这些T-叶分解的泊松几何？

主要发现

• 在 (G/B, π_G/B) 中，T-叶恰好是开的Richardson流形，即非空交集 (BuB/B) ∩ (B₋wB/B)，其中 w ≤ u 按Bruhat序。
• 在G上的标准泊松结构 π_st 中，T-叶为双Bruhat胞腔 G^{u,v} = BuB ∩ B₋vB₋，其中 u,v ∈ W。
• 在θ作用下的扭曲共轭类情形中，T-叶为 C ∩ (BwB₋) 的交集，其中C为θ-扭曲共轭类，且 w ≤ m_C。
• T-叶的稳定子由映射 (wθ + 1) 在Cartan子代数上的像给出，与文献[36]中的已知结果一致。
• 每个T-叶中辛叶的维数等于泊松结构的秩减去稳定子在Cartan子代数中余维数。
• 对于由Iwasawa分解定义的G上泊松结构π_G，商空间P_n中的辛叶由Cartan子群A中n元组参数化，且边长固定为a ∈ A^n。