[论文解读] On the theory of higher rank Euler, Kolyvagin and Stark systems, III: applications

David Burns, Ryotaro Sakamoto+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 11

一句话总结

该论文在Gorenstein环上的p进伽罗瓦表示背景下，建立了欧拉系统与科利瓦金系统之间的典范高阶科利瓦金导数同态，实现了对Selmer模结构的控制，并提出了一种将等变Tamagawa数猜想约化为非等变情形的策略。该方法应用于数域上的乘法群及Q的阿贝尔扩张上的椭圆曲线，借助Kato的欧拉系统证明了Birch与Swinnerton-Dyer猜想的新情形。

ABSTRACT

In an earlier article we proved the existence of a canonical Kolyvagin derivative homomorphism between the modules of Euler and Kolyvagin systems (in any given rank) that are associated to $p$-adic representations over number fields. We now explain how the existence of such a homomorphism leads to new results on the structure of the Selmer modules of Galois representations over Gorenstein orders and to a strategy for verifying (refinements of) the Tamagawa number conjecture of Bloch and Kato. We describe concrete applications relating to the multiplicative group over arbitrary number fields and to elliptic curves over abelian extensions of the rational numbers.

研究动机与目标

• 将高阶欧拉、科利瓦金与斯达克系统理论扩展至控制Gorenstein环上的Selmer模。
• 基于伽罗瓦上同调复形的行列式模，发展一种将等变Tamagawa数猜想约化为非等变情形的策略。
• 将该理论应用于具体算术情形：数域上的乘法群及Q的阿贝尔扩张上的椭圆曲线。
• 利用Kato的欧拉系统验证布罗赫-卡托Tamagawa数猜想的改进形式及等变Birch与Swinnerton-Dyer猜想。

提出的方法

• 在Mazur与Rubin的标准假设下，构造了欧拉系统与科利瓦金系统之间的典范高阶科利瓦金导数同态。
• 证明标准假设蕴含[9]中一般理论所需的全部条件，从而可将该理论应用于Gorenstein环上的Selmer模。
• 利用伽罗瓦上同调复形的行列式模，将离散赋值环上的等变Tamagawa数猜想约化为非等变情形。
• 通过分析Bloch-Kato元素及其在上同调中的像，将该理论应用于乘法群。
• 利用Kato的zeta元素及其导出的科利瓦金系统，控制Selmer群的Fitting理想。
• 应用Nakayama引理与Fitting理想判别法，推导出等变BSD猜想的等式条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，高阶科利瓦金导数同态是满射，从而通过欧拉系统的导数控制Selmer模结构？
• RQ2 能否利用行列式方法与伽罗瓦上同调复形，将等变Tamagawa数猜想约化为非等变情形？
• RQ3 在Q的阿贝尔扩张背景下，Kato的欧拉系统在多大程度上能控制Selmer群的Fitting理想？
• RQ4 Q上的BSD猜想的成立是否意味着通过科利瓦金系统可推出其在阿贝尔扩张上的相应结果？
• RQ5 在何种条件下，对偶Selmer群的Fitting理想由Kato欧拉系统的像生成？

主要发现

• 高阶科利瓦金导数同态是满射，当且仅当对偶Selmer群的Fitting理想由欧拉系统导数的像生成，从而提供了控制作用的明确判别准则。
• Mazur与Rubin的标准假设蕴含了高阶系统一般理论所需的全部条件，使得该理论可广泛应用于Gorenstein环上的Selmer模。
• 通过显式上同调条件刻画了等变核心顶点的存在性，从而推动了等变科利瓦金系统理论的发展。
• 对于Q的阿贝尔扩张F上的椭圆曲线E，当且仅当E(F)的秩大于1时，Selmer群的Fitting理想由Kato的zeta元素的像生成。
• 当结合Kato的欧拉系统与导出的科利瓦金系统时，Q上BSD猜想的成立可推出F上相应的Fitting理想等式。
• 在条件(c)、(d)与(e)下验证了等变Birch与Swinnerton-Dyer猜想，其中包括假设BSD猜想在Q上成立，且基域上Kato元素等于BSD元素。