[论文解读] On the three-circle theorem and its applications in Sasakian manifolds

Shu-Cheng Chang, Yingbo Han+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 39被引用 3

一句话总结

本文建立了完备非紧的零挠伪Hermitian流形在非负伪Hermitian截面曲率下的CR三圆定理，证明了多项式增长CR全纯函数的精确维数估计，并证实了首个CR Yau统一化猜想。该结果依赖于CR次Laplace算子比较定理，并将关键的Kähler理论结果推广至CR情形。

ABSTRACT

This paper mainly focuses on the CR analogue of the three-circle theorem in a complete noncompact pseudohermitian manifold of vanishing torsion being odd dimensional counterpart of Kähler geometry. In this paper, we show that the CR three-circle theorem holds if its pseudohermitian sectional curvature is nonnegative. As an application, we confirm the first CR Yau's uniformization conjecture and obtain the CR analogue of the sharp dimension estimate for CR holomorphic functions of polynomial growth and its rigidity when the pseudohermitian sectional curvature is nonnegative. This is also the first step toward second and third CR Yau's uniformization conjecture. Moreover, in the course of the proof of the CR three-circle theorem, we derive CR sub-Laplacian comparison theorem. Then Liouville theorem holds for positive pseudoharmonic functions in a complete noncompact pseudohermitian (2n+1)-manifold of vanishing torsion and nonnegative pseudohermitian Ricci curvature.

研究动机与目标

• 建立具有零挠的伪Hermitian流形中三圆定理的CR类比。
• 在非负伪Hermitian截面曲率下证实首个CR Yau统一化猜想。
• 在CR设定下推导出多项式增长CR全纯函数的精确维数估计。
• 通过证明基础的比较与凸性结果，为第二和第三CR Yau统一化猜想奠定基础。
• 将Liouville型定理推广至非负伪Hermitian Ricci曲率下的正伪调和函数。

提出的方法

• 利用曲率假设和形如 $ u(r) = \frac{1}{2r} + \frac{A}{(1+r)^{1+\epsilon}} $ 的辅助函数，推导出CR次Laplace算子比较定理。
• 应用Hessian比较原理与适用于CR设定的最大值原理，证明 $ \log M_f(r) $ 在 $ \log r $ 上的凸性。
• 使用Poincaré-Siegel映射将次数为 $ d $ 的CR全纯函数空间嵌入有限维复空间。
• 构造一个满足 $ h'(r) = \frac{\exp\left(\frac{2A}{\epsilon(1+r)^\epsilon}\right)}{r} \exp\left(-\frac{2A}{\epsilon}\right) $ 的比较函数 $ h(r) $ 以控制增长速率。
• 应用CR三圆定理证明 $ \frac{M_f(r)}{\exp(dh(r))} $ 是递增的，从而导出 $ M_f(r) $ 的下界。
• 通过分析 $ h(r) $ 的渐近行为，利用喷射映射 $ \Phi $ 的单射性推导出维数估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非负伪Hermitian截面曲率的伪Hermitian流形中，三圆定理是否在CR设定下成立？
• RQ2 在非负曲率与零挠条件下，能否证实首个CR Yau统一化猜想？
• RQ3 在这样的流形中，多项式增长CR全纯函数空间的精确维数估计是什么？
• RQ4 在完备非紧的CR流形上，若伪Hermitian Ricci曲率为非负，正伪调和函数的Liouville定理是否成立？
• RQ5 CR次Laplace算子比较定理是否可用于推导CR全纯函数的精确增长估计？

主要发现

• 对于完备非紧的 $ (2n+1) $-维伪Hermitian流形，若其挠为零且伪Hermitian截面曲率非负，则CR三圆定理成立。
• 首个CR Yau统一化猜想得到证实：$ \dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{O}_d^{CR}(M)) \leq \dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{O}_d^{CR}(\mathbb{H}^n)) $，等号成立时意味着流形与Heisenberg群等距双全纯同构。
• 当曲率在紧集外非负且下有界时，有精确维数估计 $ \dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{O}_d^{CR}(M)) \leq C(\lambda,n) d^n $。
• 当 $ \lambda = a(d_c(K))^2 $ 足够小时，$ \mathcal{O}_d^{CR}(M) $ 的维数被限制在 $ \mathcal{O}_d^{CR}(\mathbb{H}^n) $ 的维数内，表明存在刚性。
• 存在Liouville定理：在完备非紧的伪Hermitian流形上，若挠为零且伪Hermitian Ricci曲率为非负，则任意正伪调和函数必为常数。
• 该维数估计是精确的：存在 $ \delta(\lambda) > 0 $ 使得 $ \dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{O}_{\delta(\lambda)}^{CR}(M)) = 1 $，表明非平凡函数具有最小增长。