[论文解读] Chern-Ricci flows on noncompact complex manifolds

Man-Chun Lee, Luen-Fai Tam|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 9

一句话总结

本文通过将Tosatti-Weinkove和Lott-Zhang在紧致情形下的结果推广至非紧致情形，建立了非紧致复流形上Chern-Ricci流的存在性准则。证明了在非紧致流形上，任何具有非负双全纯截面曲率的完备非坍缩Kähler度量，若初始度量具有最大体积增长，则可通过Chern-Ricci流形变形为具有有界、非负双全纯截面曲率及最大体积增长的度量，从而为这类流形的全纯等价性提供了新的证明，即其双全纯等价于$\mathbb{C}^n$。

ABSTRACT

In this work, we obtain existence criteria for Chern-Ricci flows on noncompact manifolds. We generalize a result by Tossati-Wienkove on Chern-Ricci flows to noncompact manifolds and at the same time generalize a result for Kahler-Ricci flows by Lott-Zhang to Chern-Ricci flows. Using the existence results, we prove that any complete noncollapsed Kahler metric with nonnegative bisectional curvature on a noncompact complex manifold can be deformed to a complete Kahler metric with nonnegative and bounded bisectional curvature which will have maximal volume growth if the initial metric has maximal volume. Combining this result with the result of Chau-Tam, we give another proof that a complete noncompact Kahler manifold with nonnegative bisectional curvature (not necessarily bounded) and maximal volume growth is biholomorphic to the complex Euclidean space. This last result has already been proved by Gang Liu recently using other methods. This last result is partial confirmation of a uniformization conjecture of Yau.

研究动机与目标

• 将Chern-Ricci流的存在性准则从紧致情形推广至非紧致复流形。
• 将Lott-Zhang关于非紧致流形上Kähler-Ricci流的结果扩展至具有有界曲率的完备非紧致Kähler流形上的Chern-Ricci流。
• 证明在非紧致复流形上，任何具有非负双全纯截面曲率的完备非坍缩Kähler度量，均可通过Chern-Ricci流变形为具有有界、非负双全纯截面曲率及最大体积增长的度量。
• 为具有非负双全纯截面曲率和最大体积增长的完备非紧致Kähler流形双全纯等价于$\mathbb{C}^n$提供一种替代证明，从而确认了Yau统一化猜想的一个特例。

提出的方法

• 通过演化方程$\frac{\partial \theta}{\partial t} = -\text{Ric}(\theta)$在非紧致Hermitian流形上定义Chern-Ricci流，其中$\theta$为初始度量的Kähler形式。
• 通过定义$S_A$为满足度量彼此等价的流存在时间区间的上确界，以及$S_B$为存在光滑有界函数$u$使得$\theta_0 - S\text{Ric}(\theta_0) + \sqrt{-1}\partial\bar{\partial}u \geq \beta \theta_0$对某个$\beta > 0$成立的时间区间的上确界，提出一种广义的存在性准则。
• 在初始度量的双全纯截面曲率下界为$-K$，且曲率及其导数以统一方式受控的假设下，建立$S_A = S_B$的等价性。
• 利用共形变换技巧和曲率估计，控制流下度量及其曲率的演化。
• 将存在性准则应用于具有非负双全纯截面曲率和最大体积增长的Kähler度量，证明其可通过流变形为具有有界、非负双全纯截面曲率的度量。
• 利用所得的度量结构和体积增长性质，应用文献[3]中的结果，最终得出双全纯等价于$\mathbb{C}^n$的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将紧致Hermitian流形上Chern-Ricci流的存在性准则推广至非紧致情形？
• RQ2 Lott-Zhang关于非紧致流形上Kähler-Ricci流的准则是否可推广至Chern-Ricci流？
• RQ3 能否将具有非负双全纯截面曲率的完备非坍缩Kähler度量在非紧致复流形上通过流变形为具有有界、非负双全纯截面曲率及最大体积增长的度量？
• RQ4 具有非负双全纯截面曲率和最大体积增长的完备非紧致Kähler流形是否双全纯等价于$\mathbb{C}^n$？
• RQ5 Chern-Ricci流是否能为Yau统一化猜想下提供双全纯等价于$\mathbb{C}^n$的新证明？

主要发现

• 本文在双全纯截面曲率下界为$-K$的条件下，建立了完备非紧致Hermitian流形上Chern-Ricci流的$S_A = S_B$等价性。
• 证明了在非紧致复流形上，任何具有非负双全纯截面曲率的完备非坍缩Kähler度量，均可通过Chern-Ricci流变形为具有非负且有界双全纯截面曲率的完备Kähler度量。
• 若初始度量具有最大体积增长，则流产生的度量同样具有最大体积增长。
• 作者为具有非负双全纯截面曲率（不必有界）和最大体积增长的完备非紧致Kähler流形双全纯等价于$\mathbb{C}^n$提供了新证明，确认了Yau统一化猜想的一个部分情形。
• 该结果与Liu的早期证明一致，但使用Chern-Ricci流作为几何形变工具，提供了新的几何视角。
• 分析依赖于曲率估计和共形变换技巧，以控制流的演化，确保其长时间存在性和正则性。