[论文解读] On the transverse invariant for bindings of open books

David Shea Vela–Vick|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 7

一句话总结

该论文证明了，对于任何作为与接触结构相容的开书分解的束缚的横截纽结 $T$，其在纽结 Floer 同调中的横截不变量 $ˇ{T}(T)$ 非零，无论该接触结构是张紧的还是歪扭的。关键贡献在于：当补集包含一个接触不变量为零的子流形时，sutured Floer 同调中 Legendrian 不变量的消失定理，由此推出推论：开书中连通束缚的补集不含 Giroux 扭转。

ABSTRACT

Consider a transverse knot which is the binding of an open book for the ambient contact manifold. In this paper, we show that the transverse invariants defined by Lisca, Ozsvath, Stipsicz, and Szabo (LOSS) are nonvanishing for such transverse knots. This is true regardless of whether or not the ambient contact structure is tight. We also prove a vanishing theorem for LOSS's Legendrian and transverse invariants. As a corollary, we show that if (T,π) is an open book with connected binding, then the complement of T has no Giroux torsion.

研究动机与目标

• 研究作为与接触结构相容的开书分解的束缚的横截纽结在纽结 Floer 同调中的横截与 Legendrian 不变量的行为。
• 基于补集中子流形的接触不变量，建立 sutured Floer 同调中 Legendrian 不变量的消失准则。
• 证明开书分解中连通束缚的补集不含 Giroux 扭转，将拓扑约束与接触不变量联系起来。
• 将先前关于 Legendrian 不变量的消失定理推广至更广泛的具有零接触不变量的子流形类。

提出的方法

• 使用 sutured Floer 同调中的接触不变量及其在接触粘合下的行为，分析 Legendrian 与横截纽结的不变量。
• 应用 sutured Floer 同调中的一个粘合定理，证明若 Legendrian 纽结补集中的子流形 $N$ 的接触不变量为零，则该纽结的不变量消失。
• 从 Legendrian 纽结构造一个部分开书分解，并通过手柄附加将其扩展为全开书，以覆盖整个流形。
• 利用 Heegaard Floer 同调中单值映射的同伦不变性，保持接触元素在同伦变形下保持消失。
• 利用具有零接触不变量的流形在 sutured Floer 同调中接触元素消失的事实，推导出 Legendrian 不变量的消失。
• 依赖于 Giroux 定理建立的开书与接触结构之间的对应关系，将束缚的拓扑结构与补集的接触几何联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于与接触结构相容的开书分解的束缚的横截纽结 $T$，其横截不变量 $ˇ{T}(T)$ 是否为零？
• RQ2 当补集中存在一个接触不变量为零的子流形时，$β{HFK}^{-}(-Y,L)$ 中的 Legendrian 不变量 $β{L}(L)$ 在何种条件下消失？
• RQ3 若 Legendrian 纽结补集的子流形 $N$ 中接触不变量为零，是否能推出 Legendrian 不变量的消失？
• RQ4 开书分解中连通束缚的补集是否必然不含 Giroux 扭转？
• RQ5 开书束缚的横截不变量非零是否与周围接触结构的张紧性无关？

主要发现

• 对于任何与周围接触结构相容的开书分解的束缚的横截纽结 $T$，其横截不变量 $ˇ{T}(T)$ 非零，即使接触结构是歪扭的。
• 若 Legendrian 纽结 $L$ 的补集包含一个具有凸边界的紧致子流形 $N$，且其接触不变量 $c(N,ξ|_N)$ 在 sutured Floer 同调中为零，则 Legendrian 不变量 $β{L}(L)$ 消失。
• 作为推论，若 Legendrian 纽结的补集含有正 Giroux 扭转，则其 Legendrian 不变量消失。
• 无论周围接触结构是否张紧，开书分解中连通束缚的补集均不含 Giroux 扭转。
• 对于开书的束缚，横截不变量 $ˇ{T}(T)$ 非零，且该非零性蕴含了相应 Legendrian 不变量 $β{L}(L)$ 的非零性。
• 补集中子流形 $N$ 的接触不变量消失，可推出 Legendrian 不变量的消失，该结果推广了已知的关于歪扭盘的情形。