[论文解读] On the Two Conjectures of the Wiener Index

Ya-Lei Jin, Xiao‐Dong Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2013

Graph theory and applications参考文献 15被引用 11

一句话总结

本文证明了关于路径图的Wiener矩阵特征多项式的猜想1.2，确认了一个涉及二项式系数和特征值的倒数次幂的精确公式。本文否定了猜想1.4，该猜想声称在最大度有界的叶状树中，高阶顶点的对称分布可使Wiener指数最大化，通过构造一个反例表明最优配置实际上是不对称且偏向主干一端的。

ABSTRACT

The Wiener index of a graph, which is the sum of the distances between all pairs of vertices, has been well studied. Recently, Sills and Wang in 2012 proposed two conjectures on the maximal Wiener index of trees with a given degree sequence. This note proves one of the two conjectures and disproves the other.

研究动机与目标

• 解决Sills与Wang（2012）提出的关于具有指定度序列的树中最大Wiener指数的两个开放猜想。
• 验证所提出的Wiener矩阵$ A_k $的特征多项式公式，该公式控制叶状树的Wiener指数。
• 确定在最大度有界条件下，使Wiener指数最大的极值树是否必须在主干上对称分布高阶顶点。
• 提供对具有有界最大度的叶状树中使Wiener指数最大的度序列配置的完整刻画。

提出的方法

• 通过将Wiener矩阵$ A_k $与路径图的距陣$ D(P_k) $关联，并利用$ D(P_k) $的已知行列式公式，证明了猜想1.2。
• 利用恒等式$ A_k = \frac{1}{2} D(P_k) $，从$ \det(D(P_k) - \lambda I_k) $的已知系数推导出特征多项式$ C_k(\lambda) $。
• 应用Graham与Lovász关于距陣系数的结果，并通过组合恒等式建立与对称Dyck路径的联系。
• 通过选择一个中心度较大且低度部分对称的度序列，构造反例以否定猜想1.4，表明最优配置并非对称。
• 使用二次型$ q(x) = x^T A_k x $表达叶状树的Wiener指数，并在$ x_i = \deg(v_i) - 1 $的约束下分析其最大化问题。
• 采用Zhang等人（2016）的极值结构定理，识别出主干上度分布呈单峰或对称的候选最优树。

实验结果

研究问题

• RQ1 Wiener矩阵$ A_k $的特征多项式是否遵循包含二项式系数和$ \lambda $的负幂次的闭式表达？
• RQ2 矩阵$ A_k $的最大特征值是否渐近近似为$ \frac{\sqrt{3}k^2 - 2}{10} $？
• RQ3 在最大度有界的叶状树中，Wiener指数是否在高阶顶点沿主干中心对称分布时达到最大？
• RQ4 即使度多重集是对称的，使Wiener指数最大的最优度序列配置是否仍可能为非对称？

主要发现

• 猜想1.2被证明为真：$ A_k $的特征多项式精确为$ C_k(\lambda) = (-1)^k \lambda^k \left(1 - \frac{k}{4} \sum_{j=1}^{k-1} \frac{j}{j+1} \binom{k+j}{2j+1} \lambda^{-j-1} \right) $。
• 矩阵$ A_k $的最大特征值精确为$ \lambda_{\max} = \frac{1}{2(\cosh\theta - 1)} $，其中$ \theta $满足$ \tanh(\theta/2) \tanh(k\theta/2) = 1/k $。
• 猜想1.4被推翻：存在反例，其中$ m_s = 2h+1 $且$ a_s > \sum_{i=1}^{s-1} m_i a_i $，但最优配置并非对称。
• 在反例中，度序列$ \{k+s^2, k+s^2, k+s^2, s-1, s-1, \dots, 1, \dots, 1\} $（满足$ k+s^2 > s-1 > \dots > 1 $）在$ x = (k+s^2, k+s^2, 1, \dots, 1, 2, 2, \dots, s-1, s-1, k+s^2) $处取得唯一最大值，该配置为非对称。
• 最优配置满足$ l_s = h+1 $，$ r_s = h $，且$ l_s = r_s + 1 $，违反了对称条件$ |l_i - r_i| \leq 1 $与$ l_i + r_i = m_i $的平衡性。
• 该结果表明，在度序列约束下，最大Wiener指数并不一定偏好对称排列，挑战了先前的启发式假设。