[论文解读] On the unitary structures of vertex operator superalgebras

Chunrui Ai, Xingjun Lin|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文引入了幺正顶点算子超代数（VOSupA）的概念，证明了与内伏-施瓦茨李超代数、海森堡超代数以及正定整格的幺正最高权表示相关的VOSupA均为幺正VOSupA。主要贡献在于证明任意幺正VOSupA均可分解为强CFT型幺正单VOSupA的直和，并对由 conformal weight ≤1 生成的幺正VOSupA进行分类，其结构为仿射卡茨-穆迪与海森堡VOSupA的张量积。

ABSTRACT

In this paper, the notion of unitary vertex operator superalgebra is introduced. It is proved that the vertex operator superalgebras associated to the unitary highest weight representations for the Neveu-Schwarz Lie superalgebra, Heisenberg superalgebras and to positive definite integral lattices are unitary vertex operator superalgebras. The unitary structures are then used to study the structures of vertex operator superalgebras, it is proved that any unitary vertex operator superalgebra is a direct sum of strong CFT type unitary simple vertex operator superalgebras. The classification of unitary vertex operator superalgebras generated by the subspaces with conformal weights less than or equal to $1$ is also considered.

研究动机与目标

• 定义并确立幺正顶点算子超代数的概念，作为幺正VOA的推广。
• 证明与内伏-施瓦茨李超代数、海森堡超代数以及正定整格的幺正最高权表示相关的VOSupA为幺正VOSupA。
• 研究幺正VOSupA的结构性质，特别是其分解为单分量的形式。
• 对由 conformal weight ≤1 的子空间生成的幺正VOSupA进行分类，重点关注由权重1分量生成的情形。

提出的方法

• 在VOSupA上引入一个正定不变的埃尔米特形式，通过反线性对合定义幺正VOSupA。
• 利用李超代数最高权模的幺正结构，诱导出相应VOSupA上的幺正结构。
• 应用对偶形式理论与半单性理论，证明幺正VOSupA可分解为强CFT型单VOSupA的直和。
• 分析 conformal weight 1 子空间，并利用顶点算子代数分解为海森堡与格VOSupA分量的结构。
• 借助 [DM1] 与 [X] 中关于由权重1/2与权重1子空间生成的单VOSupA的结果，对完整结构进行分类。
• 证明由 conformal weight ≤1 生成的幺正VOSupA同构于仿射卡茨-穆迪VOSupA与海森堡VOSupA的张量积。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么条件可确保一个顶点算子超代数允许幺正结构？
• RQ2 李超代数最高权模上的幺正结构如何诱导出相应VOSupA上的幺正结构？
• RQ3 任意幺正VOSupA是否可分解为强CFT型单幺正VOSupA的直和？
• RQ4 由 conformal weight ≤1 子空间生成的幺正VOSupA的结构是怎样的？
• RQ5 在不假设C2-余有限性或正则性条件下，哪些由 conformal weight 1 子空间生成的幺正VOSupA可被分类？

主要发现

• 与内伏-施瓦茨李超代数、海森堡超代数以及正定整格的幺正最高权表示相关的顶点算子超代数均为幺正VOSupA。
• 任意幺正VOSupA同构于强CFT型幺正单VOSupA的直和。
• 与内伏-施瓦茨与海森堡超代数相关的VOSupA的幺正结构，源自其各自最高权模的幺正结构。
• 若幺正VOSupA的 abelian V1 的 conformal vector 等于海森堡子代数的 conformal vector，则 V1 装备有正定偶格结构。
• 由 conformal weight ≤1 生成的幺正VOSupA同构于与幺正最高权表示相关的仿射卡茨-穆迪VOSupA与海森堡VOSupA的张量积。
• 在有理性或C2-余有限性条件下，若幺正单VOSupA的 V1 为阿贝尔且维数为 c（中心荷），则其同构于某个正定偶格 L 的 VL。