[论文解读] On the volume of the intersection of two $L_p^n$ balls

Gideon Schechtman, Joel Zinn|ArXiv.org|Nov 9, 1989

Mathematics and ApplicationsMathematics参考文献 1被引用 19

一句话总结

该论文为高维中 $L_p^n$ 与 $L_q^n$ 球体交集体积建立了精确的指数衰减界限，表明在特定范围内，$t$ 倍 $L_q^n$ 球体外的归一化体积以 $\exp(-c t^p n^{p/q})$ 的速率衰减。分析采用了一类新型的 $L_p$-分布随机变量及表面积测度技术，推导出 $\ell_p^n$-范数的精确尾部估计。

ABSTRACT

This note deals with the following problem, the case $p=1$, $q=2$ of which was introduced to us by Vitali Milman: What is the volume left in the $L_p^n$ ball after removing a t-multiple of the $L_q^n$ ball? Recall that the $L_r^n$ ball is the set $\{(t_1,t_2,\dots,t_n);\ t_i\in{\bf R},\ n^{-1}\sum_{i=1}^n|t_i|^r\le 1\}$ and note that for $0

研究动机与目标

• 确定当 $1 \leq p < q < \infty$ 时，$L_p^n$ 球体中不包含于 $t$-缩放 $L_q^n$ 球体的渐近体积。
• 在 $L_p^n$ 球面上的归一化表面积测度下，推导 $\ell_p^n$-范数的精确尾部估计。
• 建立 $L_q^n$ 球体外体积指数衰减速率的通用常数，且与 $n$ 无关。
• 通过沿径向分量的积分，将结果推广至 $L_p^n$ 球体上的归一化 Lebesgue 测度。

提出的方法

• 引入一类具有密度 $c_p e^{-t^p}$ 的 i.i.d. 随机变量，其归一化 $\ell_p^n$-范数向量在 $L_p^n$ 球面的正象限上均匀分布。
• 利用归一化向量与径向分量 $S = (\sum x_i^p)^{1/p}$ 的独立性，实现角度与径向行为的解耦。
• 利用伽马函数性质与指数矩，对 $x_i^p$ 应用矩与尾部界限，特别是 $\mathbb{E}[e^{-h x^p}] = (1+h)^{-1/p}$。
• 通过索引的 dyadic 分解，采用链式论证控制归一化向量的 $\ell_q^n$-范数，利用 $\max x_i$ 与 $\mathbb{E}[\sum x_i^q]^{1/q}$ 的界限。
• 利用指数矩不等式与集中估计，推导在表面积测度下 $\|u\|_{L_q^n}$ 的上下尾部界限。
• 通过公式 $\nu(A) = n \int_0^1 r^{n-1} \mu(A/r) \, dr$ 实现从表面积测度到体积测度的转换，其中 $\nu$ 为 $L_p^n$ 球体上的归一化 Lebesgue 测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $1 \leq p < q < \infty$ 时，$L_p^n$ 球体中位于 $t$-缩放 $L_q^n$ 球体外的渐近体积是多少？
• RQ2 在 $L_p^n$ 球面上的归一化表面积测度下，$\ell_q^n$-范数的尾部概率行为如何？
• RQ3 能否以与 $n$ 无关的常数量化 $L_q^n$ 球体外体积的衰减速率？
• RQ4 衰减速率对 $t$、$p$、$q$ 与 $n$ 的精确依赖关系是什么？
• RQ5 表面积测度下的结果如何推广至 $L_p^n$ 球体上的完整体积测度？

主要发现

• 当 $t > T(p,q)$ 时，满足 $\|u\|_{L_q^n} > t$ 的集合的归一化表面积测度上界为 $\exp(-c t^p n^{p/q})$，其中 $c$ 仅依赖于 $p$ 与 $q$。
• 当 $2 \leq t \leq \frac{1}{2} n^{1/p - 1/q}$ 时，归一化表面积测度满足 $\mu(\|u\|_{L_q^n} > t) \geq \exp(-C t^p n^{p/q})$，其中 $C$ 仅依赖于 $p$ 与 $q$。
• 当 $q > 2p$ 时，上下界中的常数 $c$ 与 $C$ 可分别取为 $\gamma / p$ 与 $\Gamma / p$，其中 $\gamma, \Gamma$ 为通用常数。
• 当 $q = \infty$ 时，尾部界限变为 $\mu(\|u\|_\infty > t) \leq \exp(-\gamma t^p / p)$ 与 $\geq \exp(-\Gamma t^p / p)$，其中 $t > \tau (\log n)^{1/p}$。
• 当 $t > T(p,q)$ 时，$L_p^n$ 球体中位于 $t$-缩放 $L_q^n$ 球体外的归一化体积以 $\exp(-c t^p n^{p/q})$ 的速率衰减，其中 $T(p,q) = \tau \min\{q, \log n\}^{1/p}$。
• 结果可推广至 $p > 0$，但此时常数对 $p$ 与 $q$ 的依赖关系未完全量化。