[论文解读] On thickness and thinness of Banach spaces

Trond A. Abrahamsen, Johann Langemets+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2014

Advanced Banach Space Theory参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文研究了巴拿赫空间中的惠特利厚度与纤细指标，证明了每个包含 $c_0$ 的无限维巴拿赫空间均可通过重新赋范，使得 $c_0$ 成为 M-理想，且两个指标均等于 1。此外，本文还表明厚度与纤细指标在 $\ell_p$-和空间下表现不同，并证明厚度指标可取 $[1,2]$ 内任意值，同时保持纤细指标为 1。

ABSTRACT

The aim of this note is to complement and extend some recent results on Whitley's indices of thinness and thickness in three main directions. Firstly, we investigate both the indices when forming $\ell_p$-sums of Banach spaces, and obtain formulas which show that they behave rather differently. Secondly, we consider the relation of the indices of the space and a subspace. Finally, every Banach space $X$ containing a copy of $c_0$ can be equivalently renormed so that in the new norm $c_0$ is an M-ideal in $X$ and both the thickness and thinness index of $X$ equal 1.

研究动机与目标

• 扩展并补充近期关于巴拿赫空间中惠特利厚度与纤细指标的研究成果。
• 分析厚度与纤细指标在巴拿赫空间 $\ell_p$-和空间下的行为。
• 研究巴拿赫空间与其子空间之间指标的关系。
• 证明每个包含 $c_0$ 的巴拿赫空间均可赋予等价范数，使得 $c_0$ 成为 M-理想，且两个指标均等于 1。

提出的方法

• 使用网收敛与蒂索诺夫定理在包含 $c_0$ 的巴拿赫空间 $X$ 上构造新范数。
• 构造一组到 $c_0$-子空间 $Y$ 上的投影 $P_Y$ 的网，以定义极限范数 $|||\cdot|||$。
• 证明极限范数满足 $\frac{1}{2}\|x\| \leq |||x||| \leq 3\|x\|$，从而保持 $c_0$ 的等距嵌入。
• 通过 [2] 中的结果，证明新范数为几乎正方形，从而推出 $t(X) = 1$。
• 通过稠密序列与逼近方法，验证新范数下 $c_0$ 满足 M-理想性质，从而确认其为 M-理想。
• 通过证明单位球被以 $e_1$ 和 $-e_1$ 为中心、半径为 1 的闭球的并覆盖，确立 $T(X) = 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当空间包含 $c_0$ 时，是否可以独立控制厚度与纤细指标？
• RQ2 厚度与纤细指标在巴拿赫空间的 $\ell_p$-和空间下如何表现？
• RQ3 巴拿赫空间与其子空间的指标之间存在何种关系？
• RQ4 是否可以对包含 $c_0$ 的巴拿赫空间进行重新赋范，使得 $c_0$ 成为 M-理想，且两个指标均等于 1？
• RQ5 是否可以实现 $[1,2]$ 内任意值作为厚度指标，同时保持纤细指标为 1？

主要发现

• 对任意 $\alpha \in [1,2]$，存在一个巴拿赫空间 $X$，使得 $T(X) = \alpha$ 且 $t(X) = 1$，表明纤细空间可具有任意厚度。
• $\ell_p$-和空间表现出厚度与纤细指标的不同行为，且推导出 $T(\ell_p[X_i])$ 与 $t(\ell_p[X_i])$ 的显式公式。
• 每个包含 $c_0$ 的无限维巴拿赫空间 $X$ 均可赋予等价范数，使得 $c_0$ 成为 M-理想，且 $T(X) = 1$ 与 $t(X) = 1$ 同时成立。
• 通过投影网收敛构造的新范数确保 $c_0$ 为 M-理想，且单位球被以 $\pm e_1$ 为中心、半径为 1 的两个球覆盖，从而证明 $T(X) = 1$。
• 该构造确认在新范数下 $t(X) = 1$，因为该空间在重新赋范下为几乎正方形。
• 本文建立：$T(X) = 2$ 当且仅当 $X$ 为八边形空间，$t(X) = 1$ 当且仅当 $X$ 为几乎正方形空间，从而将指标与几何性质联系起来。