[论文解读] On tight spans and tropical polytopes for directed distances

Hiroshi Hirai, Shungo Koichi|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文为非对称度量（即定向度量）构建了紧张（tight span）与热带单纯形（tropical polytope）的有向类比，建立了紧扩展与循环紧扩展的普遍嵌入性质。证明了一条有向树度量定理：一个有向度量是树度量当且仅当其负距离矩阵的热带秩至多为二。

ABSTRACT

An extension $(V,d)$ of a metric space $(S,μ)$ is a metric space with $S \subseteq V$ and $d|_S = μ$, and is said to be tight if there is no other extension $(V,d')$ of $(S,μ)$ with $d' \leq d$. Isbell and Dress independently found that every tight extension is isometrically embedded into a certain metrized polyhedral complex associated with $(S,μ)$, called the tight span. This paper develops an analogous theory for directed metrics, which are "not necessarily symmetric" distance functions satisfying the triangle inequality. We introduce a directed version of the tight span and show that it has such a universal embedding property for tight extensions. Also we newly introduce another natural class of extensions, called cyclically tight extensions, and show that (a fiber of) the tropical polytope, introduced by Develin and Sturmfels, has a universal embedding property for cyclically tight extensions. As an application, we prove the following directed version of tree metric theorem: directed metric $μ$ is a directed tree metric if and only if the tropical rank of $-μ$ is at most two. Also we describe how tight spans and tropical polytopes are applied to the study in multicommodity flows in directed networks.

研究动机与目标

• 将紧张与热带单纯形的理论扩展至非对称度量。
• 在有向距离的语境下，定义并刻画紧扩展与循环紧扩展。
• 利用紧张与热带单纯形的有向类比，建立这些扩展的普遍嵌入性质。
• 将该框架应用于有向网络中的多商品流问题，建立几何与优化之间的联系。
• 通过热带秩，提供经典树度量定理的有向版本。

提出的方法

• 将有向紧张 $T_{\rho}$ 定义为无界多面体 $P_{\rho} = \{p \in \mathbb{R}^S \mid p(s) + p(t) \geq \rho(s,t)\}$ 中的极小点集。
• 将热带单纯形 $\bar{Q}_{\rho}$ 定义为另一多面体 $Q_{\rho}$ 中极小点集的投影，并定义一个投影到 $\bar{Q}_{\rho}$ 上的双射的平衡截面 $R \subseteq Q_{\rho}$。
• 在 $T_{\rho}$、$Q_{\rho}$ 以及任意平衡截面 $R$ 上配备一个有向 $l_\infty$-度量 $D_\infty$。
• 证明：每个有向度量 $\rho$ 的紧扩展均可等距嵌入到 $(T_{\rho}, D_\infty)$ 中，每个循环紧扩展均可等距嵌入到 $Q_{\rho}$ 的某个平衡截面中。
• 利用 $T_{\rho}$ 与 $\bar{Q}_{\rho}$ 的维数条件，刻画有向树度量。
• 通过证明其对偶线性规划在 $T_{\rho}$ 与 $\bar{Q}_{\rho}$ 上退化为设施选址问题，将该框架应用于多商品流问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在类似于对称情形下紧张的有向度量的普遍紧扩展？
• RQ2 能否构造出一个有向热带单纯形类比，以普遍嵌入循环紧扩展？
• RQ3 在热带几何的术语下，有向树度量是否存在组合刻画？
• RQ4 有向紧张与热带单纯形的几何结构如何应用于有向网络中的多商品流问题？
• RQ5 在 $-\mu$ 的热带秩与有向树度量结构之间存在何种关系？

主要发现

• 有向紧张 $T_{\rho}$ 是有向度量 $\rho$ 的普遍紧扩展，即每个紧扩展均可通过 $D_\infty$ 度量等距嵌入到 $T_{\rho}$ 中。
• 通过平衡截面，热带单纯形 $\bar{Q}_{\rho}$ 提供了 $\rho$ 的循环紧扩展的普遍嵌入。
• 有向度量 $\rho$ 是有向树度量当且仅当 $-\rho$ 的热带秩至多为二，从而建立了树度量定理的有向版本。
• 一般网络中多商品流问题的对偶问题退化为在有向紧张 $T_{\rho}$ 上的设施选址问题，其目标函数可表示为边上的 $D_\infty$-距离之和。
• 对于欧拉网络，对偶问题退化为在热带单纯形 $\bar{Q}_{\rho}$ 上的设施选址问题，其目标函数在 $Q_{\rho}$ 的任意平衡截面的嵌入中最小化。
• 该框架为多商品流对偶性提供了几何解释，将优化与有向空间中的度量几何联系起来。