[论文解读] On tropical Kleene star matrices and alcoved polytopes

M. J. de la Puente|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 21被引用 12

一句话总结

本文提供了零对角实矩阵是 Kleene star 矩阵的初等证明，当且仅当其热带列张成是凸的，从而在热带代数与凸几何之间建立了基本联系。关键贡献在于，对于正规幂等矩阵——Kleene star 的一个子类——其热带范数等于其热带张成的超平面截面的半径，从而为阿科维德多面体及其极端结构提供了新的计算工具。

ABSTRACT

In this paper we give a short, elementary proof of a known result in tropical mathematics, by which the convexity of the column span of a zero--diagonal real matrix $A$ is characterized by $A$ being a Kleene star. We give applications to alcoved polytopes, using normal idempotent matrices (which form a subclass of Kleene stars). For a normal matrix we define a norm and show that this is the radius of a hyperplane section of its tropical span.

研究动机与目标

• 通过 Kleene star 矩阵表征凸的热带列张成。
• 将此表征应用于阿科维德多面体，这是一类具有组合与几何重要性的凸多面体。
• 为正规幂等矩阵定义一个热带范数，并将其与该矩阵热带张成的超平面截面的半径相关联。
• 利用热带运算实现对阿科维德多面体的极点（顶点与伪顶点）的新计算方法。
• 改进多面体的表示方式，并通过热带代数计算其内在几何不变量，如半径。

提出的方法

• 使用初等不等式证明：零对角矩阵 $A$ 是 Kleene star（即 $A = A^2$）当且仅当 $\operatorname{span}(A)$ 是凸的。
• 为正规幂等矩阵定义热带范数 $|||A||| = \max_{i,j} |a_{ij}|$，其中 $a_{ii} = 0$ 且 $a_{ij} \leq 0$。
• 利用距离函数 $\operatorname{d}(p,q) = \max_{i,j} \{ |p_i - q_i|, |p_i - q_i - p_j + q_j| \}$ 证明：超平面截面 $\operatorname{span}(A) \cap \{x_n = 0\}$ 的半径等于 $|||A|||$。
• 利用 $\operatorname{span}(A) = \operatorname{span}(A_0)$ 的事实，其中 $A_0$ 是通过从第 $j$ 列的每个条目减去 $a_{nj}$ 得到的，从而将问题约化到超平面 $\{x_n = 0\}$。
• 利用正规幂等矩阵的结构，对张成中点之间的热带距离进行有界，并将其与矩阵范数关联。
• 通过证明阿科维德多面体的超平面截面是 Kleene star 矩阵的热带张成，将结果应用于阿科维德多面体，从而实现半径与极点的计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时零对角矩阵的热带列张成是凸的？
• RQ2 正规幂等矩阵的热带范数如何与其中热带张成的几何不变量相关联？
• RQ3 是否可以利用热带代数计算阿科维德多面体的半径与极点？
• RQ4 对于正规矩阵，矩阵范数 $|||A|||$ 与超平面截面 $\operatorname{span}(A) \cap \{x_n = 0\}$ 的半径之间存在何种关系？
• RQ5 与一般热带张成相比，Kleene star 矩阵的结构如何简化阿科维德多面体的分析？

主要发现

• 零对角实矩阵 $A$ 是 Kleene star 当且仅当其热带列张成 $\operatorname{span}(A)$ 是凸的。
• 对于正规幂等矩阵 $A$，其热带范数 $|||A|||$ 等于超平面截面 $\operatorname{span}(A) \cap \{x_n = 0\}$ 的半径。
• 若 $A$ 还是幂等矩阵，则 $|||A|||$ 等于阿科维德多面体 $C_A$ 的半径。
• 超平面截面 $\operatorname{span}(A) \cap \{x_n = 0\}$ 的半径被 $|||A|||$ 所有界，且该界是紧的。
• 距离函数 $\operatorname{d}(p,q)$ 在 $\mathbb{R}^{n-1}$ 上诱导出一个热带度量，且集合 $S$ 的半径为 $\sup_{s \in S} \operatorname{d}(s,0)$。
• 例 9 表明 $|||B||| = |||A||| = 10$，且 $\operatorname{span}(B) \cap \{x_4 = 0\}$ 与 $C_A$ 的半径均为 10，从而验证了范数-半径等式。