[论文解读] On Uniqueness And Existence of Conformally Compact Einstein Metrics with Homogeneous Conformal Infinity. II

Gang Li|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文证明了在单位球 $B_{1} \subset \mathbb{R}^{4k+4}$ 上，具有 $\mathrm{Sp}(k+1)$-不变边界无穷远结构的非正曲率共形紧致爱因斯坦（CCE）度量的存在性与唯一性，且当边界度量接近标准度量时，此类度量在等距变换下唯一。关键结果进一步推广至 $\mathbb{S}^{15}$ 上的 $\mathrm{Spin}(9)$-不变度量，通过先验估计与连续性方法，结合曲率差的单调性，确立了存在性与唯一性。

ABSTRACT

In this paper we show that for an $ ext{Sp}(k+1)$ invariant metric $\hat{g}$ on $\mathbb{S}^{4k+3}$ $(k\geq 1)$ close to the round metric, the conformally compact Einstein (CCE) manifold $(M, g)$ with $(\mathbb{S}^{4k+3}, [\hat{g}])$ as its conformal infinity is unique up to isometries. Moreover, by the result in [LiQingShi], $g$ is the Graham-Lee metric on the unit ball $B_1\subset \mathbb{R}^{4k+4}$. We also give an a priori estimate on the Einstein metric $g$. Based on the estimate and Graham-Lee and Lee's seminal perturbation result, we use the continuity method directly to obtain an existence result of the non-positively curved CCE metric with prescribed conformal infinity $(\mathbb{S}^{4k+3}, [\hat{g}])$ when the metric $\hat{g}$ is $ ext{Sp}(k+1)$-invariant. We also generalize the results to the case of conformal infinity $(\mathbb{S}^{15},[\hat{g}])$ with $\hat{g}$ a Spin$(9)$-invariant metric in the appendix.

研究动机与目标

• 建立在 $\mathbb{S}^{4k+3}$ 上具有 $\mathrm{Sp}(k+1)$-不变边界无穷远结构的非正曲率共形紧致爱因斯坦（CCE）度量的唯一性，且当边界度量接近标准度量时，该度量在等距变换下唯一。
• 将存在性与唯一性结果推广至 $\mathbb{S}^{15}$ 上的 $\mathrm{Spin}(9)$-不变情形。
• 通过边界值问题的结构，为 $B_1$ 上的爱因斯坦度量 $g$ 推导先验估计。
• 直接应用连续性方法，通过摄动理论证明 $\mathrm{Sp}(k+1)$-不变边界无穷远结构下 CCE 度量的存在性。

提出的方法

• 将 CCE 度量的存在性问题表述为在 $x \in [0,1]$ 上由 $\mathrm{Sp}(k+1)$ 对称性假设导出的常微分方程两点边值问题。
• 引入关键技术突破：尽管 $y_i$ 本身不单调，但证明了对 $2 \leq i < j \leq 4$，$y_i - y_j$ 是单调的，从而获得解的统一有界性。
• 利用爱因斯坦方程与曲率估计，推导出度量分量 $y_i(x)$ 的先验有界性，使连续性方法得以应用。
• 将 Graham-Lee 与 Lee 的摄动理论应用于加权 Hölder 空间，以验证 $\mathrm{Sp}(k+1)$-不变与 $\mathrm{Spin}(9)$-不变情形下连续性方法的合理性。
• 通过测地线定义函数与极坐标，将 PDE 问题约化为沿测地线的系统，利用对称性与曲率控制。
• 通过结合先验估计与 $\sup_M |W|_g$ 的小性，以及曲率差的单调性，证明唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当边界度量接近标准度量时，$B_1$ 上具有 $\mathrm{Sp}(k+1)$-不变边界无穷远结构的共形紧致爱因斯坦度量是否在等距变换下唯一？
• RQ2 能否通过连续性方法证明 $\mathrm{Sp}(k+1)$-不变边界无穷远结构下非正曲率 CCE 度量的存在性？
• RQ3 当度量比 $\lambda_1/\lambda_2$ 接近 1 时，唯一性结果是否可推广至 $\mathbb{S}^{15}$ 上的 $\mathrm{Spin}(9)$-不变情形？
• RQ4 在 $\mathrm{Sp}(k+1)$ 对称性与非正曲率条件下，可为爱因斯坦度量分量推导出哪些先验估计？
• RQ5 在单个 $y_i$ 不单调的情况下，曲率差 $y_i - y_j$ 的行为如何实现统一有界性？

主要发现

• 对于在 $\mathbb{S}^{4k+3}$ 上接近标准度量的 $\mathrm{Sp}(k+1)$-不变度量 $\hat{g}$，$B_1$ 上的 CCE 度量在等距变换下唯一，且与 Graham-Lee 度量一致。
• 本文通过利用 $2 \leq i < j \leq 4$ 时 $y_i - y_j$ 的单调性，克服了单个 $y_i$ 不单调的困难，为爱因斯坦度量 $g$ 推导出先验估计。
• 结合连续性方法与 $\sup_M |W|_g$ 的小性，本文证明了在标准度量邻域内，$\mathrm{Sp}(k+1)$-不变边界无穷远结构下非正曲率 CCE 度量的存在性。
• 对于 $\mathbb{S}^{15}$ 上满足 $\lambda_1/\lambda_2$ 接近 1 的 $\mathrm{Spin}(9)$-不变度量，CCE 度量在等距变换下唯一，且为文献 [17] 中的摄动度量。
• 在区间 $\lambda \in \left(\frac{-8+2\sqrt{19}}{3}, \frac{11}{3}\right)$ 内，$\mathrm{Spin}(9)$-不变度量的存在的结果成立，且在 $\lambda_1$ 处可能存在分岔点，此时截面曲率可能为零或变为正。
• 本文确认，当 $\lambda_1/\lambda_2$ 足够接近 1 时，CCE 度量为非正曲率且单连通，曲率接近 $-1$。