[论文解读] On viscosity solutions of path-dependent Hamilton--Jacobi--Bellman--Isaacs equations for fractional-order systems
本文为由 Caputo 分数阶导数（阶数 α ∈ (0,1)）驱动的路径依赖型 Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs (HJBI) 方程建立了粘性解框架。通过引入一种基于 α 阶 ci-光滑测试泛函及路径空间的紧致不变子集的新粘性解概念，证明了双人零和微分博弈的值泛函是唯一粘性解，将最小最大解理论扩展至具有非局部动力学的分数阶系统。
This paper deals with a two-person zero-sum differential game for a dynamical system described by a Caputo fractional differential equation of order $α\in (0, 1)$ and a Bolza cost functional. The differential game is associated to the Cauchy problem for the path-dependent Hamilton--Jacobi--Bellman--Isaacs equation with so-called fractional coinvariant derivatives of the order $α$ and the corresponding right-end boundary condition. A notion of a viscosity solution of the Cauchy problem is introduced, and the value functional of the differential game is characterized as a unique viscosity solution of this problem.
研究动机与目标
- 为涉及 Caputo 分数阶导数（阶数 α ∈ (0,1)）的路径依赖型 HJBI 方程发展一种广义解概念，其中经典光滑性假设不成立。
- 通过引入适用于非局部、路径依赖动力学的粘性解方法，将最小最大解框架扩展至分数阶系统。
- 将双人零和微分博弈的值泛函表征为关联 HJBI 方程的唯一粘性解。
- 通过一种新型测试泛函构造，考虑分数阶共变导数的结构，建立粘性解的唯一性。
提出的方法
- 引入一种基于 α 阶 ci-光滑测试泛函及覆盖路径空间的一系列紧致强不变子集的新粘性解定义。
- 对粘性解在路径变量上的局部利普希茨连续性施加条件，以确保 ci-导数的有界性。
- 应用先前工作 [11, 定理 2] 中的值泛函最小最大解表征，并借助 [13, 引理 1] 验证利普希茨条件。
- 构造尊重分数阶共变导数结构的专用测试泛函，从而通过比较原理证明唯一性。
- 利用 Hölder 不等式及涉及 Beta 函数的积分估计，控制测试泛函的 ci-导数，确保所需的正则性。
- 改编 [21, 定理 2] 中的比较原理技术，但对测试泛函构造进行修改，以适应分数阶导数的非局部性。
实验结果
研究问题
- RQ1如何为涉及 Caputo 分数阶导数（阶数 α ∈ (0,1)）的路径依赖型 HJBI 方程定义粘性解概念？
- RQ2具有分数阶动力学的双人零和微分博弈的值泛函是否为关联 HJBI 方程的粘性解？
- RQ3在存在非局部、路径依赖的分数阶动力学时，能否建立粘性解的唯一性？
- RQ4值泛函的局部利普希茨连续性在确保测试泛函 ci-导数有界性方面起什么作用？
- RQ5如何构造测试泛函以在唯一性证明中尊重分数阶共变导数的结构？
主要发现
- 微分博弈的值泛函是具有分数阶共变导数（阶数 α）的路径依赖型 HJBI 方程的粘性解。
- 值泛函在路径变量上满足必要的局部利普希茨连续性，这对控制测试泛函的 ci-导数有界性至关重要。
- 提出了一种针对分数阶 HJBI 方程结构量身定制的 α 阶 ci-光滑测试泛函的新型构造，使唯一性证明成为可能。
- 通过比较原理建立了粘性解的唯一性，关键步骤在于构造能反映分数阶导数非局部性的适当测试泛函。
- 证明依赖于涉及 Beta 函数的积分估计及 Hölder 不等式，以控制 ci-导数的增长，确保比较论证所需的有界性。
- 通过提供粘性解表征，将最小最大解框架扩展至分数阶系统，从而拓宽了非局部环境下动态规划的适用范围。
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