[论文解读] On Weyl's embedding problem in Riemannian manifolds

Siyuan Lu|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文在自然几何假设下，为将具有 $ C^2 $ 度量 $ g $ 且 $ D^2g $ 满足 Dini 连续性的 2-球面等距嵌入一般三维黎曼流形 $ (N^3, \bar{g}) $ 建立了内点 $ C^2 $ 估计。通过推广 Heinz 的内点 $ C^2 $ 估计，并利用双曲空间中准局部质量的正性，作者获得了与位置无关的平均曲率界，从而实现了完整的 $ C^2 $ 先验估计，完成了在较弱正则性条件下对空间形式中 Weyl 嵌入问题的证明。

ABSTRACT

We consider a priori estimates of Weyl's embedding problem of $(\mathbb{S}^2, g)$ in general $3$-dimensional Riemannian manifold $(N^3, \bar g)$. We establish interior $C^2$ estimate under natural geometric assumption. Together with a recent work by Li and Wang, we obtain an isometric embedding of $(\mathbb{S}^2,g)$ in Riemannian manifold. In addition, we reprove Weyl's embedding theorem in space form under the condition that $g\in C^2$ with $D^2g$ Dini continuous.

研究动机与目标

• 在自然几何假设下，为 $ (\mathbb{S}^2, g) $ 到一般三维黎曼流形 $ (N^3, \bar{g}) $ 的等距嵌入建立统一的 $ C^2 $ 先验估计。
• 通过发展与全局位置无关的内点 $ C^2 $ 估计，克服先前曲率估计对嵌入曲面位置的依赖性。
• 在较弱正则性条件 $ g \in C^2 $ 且 $ D^2g $ 满足 Dini 连续性下，重新证明空间形式中的 Weyl 嵌入定理，优于以往所需的 $ C^4 $ 条件。
• 利用双曲空间中 Wang–Yau 准局部质量的正性，对一般环境空间中总平均曲率进行有界，替代在非空间形式中不适用的 Minkowski 公式。

提出的方法

• 将 Heinz 的内点 $ C^2 $ 估计推广至一般黎曼流形，避免依赖于全局位置或环境曲率界。
• 利用双曲空间中 Wang–Yau 准局部质量的正性来有界总平均曲率，替代在非空间形式设定下不适用的经典 Minkowski 公式。
• 通过拟共形映射理论建立 Beltrami–Darboux 系数的 Dini 连续性条件，以确保嵌入的 $ C^1 $ 正则性。
• 应用椭圆正则性理论于 Beltrami–Darboux 系统，证明 Dini 连续的系数可推出解的 $ C^1_{\text{loc}} $ 正则性。
• 通过拟共形映射构造嵌入的局部表示，并在满足强椭圆性和 Dini 连续性条件下，从 $ W^{1,2} $ 估计推导出 $ C^1_{\text{loc}} $ 正则性。
• 将新的内点 $ C^2 $ 估计与 Li 和 Wang 最近的 $ C^0 $ 估计相结合，实现等距嵌入问题的完整 $ C^2 $ 先验估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖嵌入曲面在环境空间中位置的前提下，为一般黎曼流形中的 Weyl 嵌入问题建立内点 $ C^2 $ 估计？
• RQ2 双曲空间中准局部质量的正性是否可作为非空间形式环境中总平均曲率有界性的可行替代，替代 Minkowski 公式？
• RQ3 是否可在较弱正则性条件 $ g \in C^2 $ 且 $ D^2g $ 满足 Dini 连续性下，重新证明空间形式中的 Weyl 嵌入定理？
• RQ4 是否仅通过 $ g $ 和 $ \bar{g} $ 的 $ C^3 $ 正则性，而非 $ C^4 $，即可实现统一的 $ C^2 $ 先验估计？

主要发现

• 为 $ (\mathbb{S}^2, g) $ 到一般三维黎曼流形 $ (N^3, \bar{g}) $ 的等距嵌入建立了与曲面在环境空间中位置无关的内点 $ C^2 $ 估计。
• 通过双曲空间中准局部质量的正性推导出平均曲率估计，从而在不存在共形 Killing 向量场的一般环境空间中实现总平均曲率的有界性。
• 在较弱正则性条件 $ g \in C^2 $ 且 $ D^2g $ 满足 Dini 连续性下，实现了 $ C^2 $ 先验估计，优于以往工作所需的 $ C^4 $ 条件。
• 作者在 $ C^2 $ 及 $ D^2g $ 满足 Dini 连续性条件下，重新证明了空间形式中的 Weyl 嵌入定理，确认了在更低正则性下的结果。
• 将新内点 $ C^2 $ 估计与 Li 和 Wang 最近的 $ C^0 $ 估计结合，实现了完整的 $ C^2 $ 先验估计，从而完成了对一般情形下等距嵌入问题的证明。
• 证明了当系数满足 Dini 连续性时，Beltrami–Darboux 系统具有 $ C^1_{\text{loc}} $ 解，通过拟共形映射技术确立了嵌入的正则性。