[论文解读] On wheel-free graphs

Pierre Aboulker, Frédéric Havet+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文研究了无轮图（wheel-free graphs）的结构性质——即不包含轮图（一个弦无环的圈加上一个与所有圈上顶点相连的顶点）作为子图的图。本文证明了每个3-连通的无轮图都是极小3-连通的，并利用该结论表明此类图中存在度数至多为3的顶点。其主要贡献在于给出了无轮图3-可图染色性的一个新证明，拓展了关于Berge图和结构图论的研究成果。

ABSTRACT

A wheel is a graph formed by a chordless cycle and a vertex that has at least three neighbors in the cycle. We prove that every 3-connected graph that does not contain a wheel as a subgraph is in fact minimally 3-connected. We give a new proof of a theorem of Thomassen and Toft: every graph that does not contain a wheel as a subgraph is 3-colorable.

研究动机与目标

• 理解不包含轮图作为子图的图的结构性质。
• 研究无轮图是否具有有界色数，解决关于c-可图染色性的一个开放问题。
• 确立3-连通无轮图是极小3-连通的，从而推导出存在度数至多为3的顶点。
• 提供无轮图3-可图染色性的新证明，基于Thomassen与Toft的结果。
• 探讨排除轮图对图的染色性与连通性的影响，特别是与Truemper构型的关系。

提出的方法

• 使用Menger定理及其变体分析无轮图中的连通性与路径。
• 应用归纳法与结构分解，分析3-连通图中的块与孪生顶点对。
• 采用一种新证明技术，处理Watkins与Mesner关于三顶点连通性条件下无环路存在的定理。
• 利用3-连通无轮图的极小性，推导出度数上界与可图染色性结果。
• 分析同构于$K_{3,3} \setminus e$与$K_{3,3}$的子图，以推导结构约束。
• 基于3-连通分量中顶点对之间边的存在性进行情况分析，以推导孪生顶点对的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个3-连通无轮图是否都是极小3-连通的？
• RQ2 所有无轮图是否都存在度数至多为3的顶点？
• RQ3 能否通过结构论证重新证明无轮图的3-可图染色性？
• RQ4 排除长轮图（轮的圈长≥4）作为子图的图的色数是多少？
• RQ5 排除轮图与$K_4$的细分对图的结构与染色性质有何影响？

主要发现

• 每个3-连通无轮图都是极小3-连通的，这是一个结构结果，意味着存在度数至多为3的顶点。
• 每个无轮图都存在度数至多为3的顶点，证实了Turner定理的一个特例。
• 每个平面无轮图都存在度数至多为2的顶点，将度数上界扩展至平面图。
• 给出了Watkins与Mesner关于在特定连通性条件下不存在通过三顶点的环路的定理的更简短的新证明。
• 任意3-连通无轮图都包含两对不相交的孪生顶点，这一结构特征在极小性与可图染色性证明中被使用。
• 排除长轮图（轮的圈长≥4）作为子图的图是4-可图染色的；若它们同时为无轮图，则是3-可图染色的。