[论文解读] On Zeroes of Random Polynomials and Applications to Unwinding

Stefan Steinerberger, Hau‐Tieng Wu|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文研究了随机多项式 $ p_n(z) $ 满足方程 $ p_n(z) = p_n(0) $ 的解的渐近分布，其中 $ p_n(z) $ 的根从复平面上具有紧台集和连续性的概率测度 $ \mu $ 独立同分布抽取。结果表明，当 $ n \to \infty $ 时，方程 $ p_n(z) - p_n(0) = 0 $ 的根在分布上收敛于一个测度 $ \nu $，该测度在对数势能超过原点处值的集合 $ A $ 上重现 $ \mu $，并在对数势能等于原点处值的曲线集合 $ B $ 上集中，且 $ B $ 上的密度由势能的角变差决定。

ABSTRACT

Let $μ$ be a probability measure in $\mathbb{C}$ with a continuous and compactly supported density function, let $z_1, \dots, z_n$ be independent random variables, $z_i \sim μ$, and consider the random polynomial $$ p_n(z) = \prod_{k=1}^{n}{(z - z_k)}.$$ We determine the asymptotic distribution of $\left\{z \in \mathbb{C}: p_n(z) = p_n(0) ight\}$. In particular, if $μ$ is radial around the origin, then those solutions are also distributed according to $μ$ as $n ightarrow \infty$. Generally, the distribution of the solutions will reproduce parts of $μ$ and condense another part on curves. We use these insights to study the behavior of the Blaschke unwinding series on random data.

研究动机与目标

• 理解当 $ n \to \infty $ 时，从复平面上具有紧台集和连续性的概率测度 $ \mu $ 独立同分布抽取根的随机多项式，其方程 $ p_n(z) = p_n(0) $ 的解的极限分布。
• 利用势论，特别是 $ \mu $ 的对数势能，刻画这些解的渐近行为。
• 将已知的关于随机多项式临界点的结果推广至水平集 $ p_n(z) = p_n(0) $ 的情形，特别是当 $ \mu $ 非径向时。
• 精确描述作为 $ p_n(z) - p_n(0) $ 的根分布的弱极限而出现的测度 $ \nu $，包括在对数势能等于原点处值的集合 $ B $ 上的结构。

提出的方法

• 定义集合 $ A = \{ z : \int \log|x-z| d\mu(x) > \int \log|x| d\mu(x) \} $ 和 $ B = \{ z : \text{等式成立} \} $，它们根据 $ \mu $ 的对数势能将复平面划分。
• 应用对数势能的大数定律：当 $ n \to \infty $ 时，有 $ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log|z - z_k| \to \int \log|z - x| d\mu(x) $ 几乎必然成立。
• 应用偏离原理，证明水平集 $ \{ z : \sum_{k=1}^n \log|z - z_k| = \sum_{k=1}^n \log|z_k| \} $ 在远离 $ \mu $ 支撑的区域上一致收敛于集合 $ B $。
• 沿极限曲线 $ C \subset B $ 分析多项式 $ p_n(z) $ 的幅角，表明 $ \arg p_n(z) $ 沿 $ C $ 的总变差渐近线性增长于 $ n $，从而导致解的规则分布。
• 利用隐函数定理证明 $ B $ 局部为 $ C^1 $ 曲线，并推导出 $ B $ 上的密度为 $ \frac{1}{2\pi} \left| \frac{\partial}{\partial t} \int \arg(\gamma(t) - z) d\mu(z) \right|^{-1} $，其中 $ \gamma $ 是 $ C $ 的弧长参数化。
• 通过显式计算验证结果：对于两个单位圆的并集，极限测度 $ \nu $ 在 $ A $ 上重现 $ \mu $，并在 $ B $ 中的四条新曲线上集中，数值模拟确认了预测结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ n \to \infty $ 时，对于从具有紧台集和连续性的测度 $ \mu $ 独立同分布抽取根的随机多项式，方程 $ p_n(z) = p_n(0) $ 的解的分布行为如何？
• RQ2 在何种条件下解集重现原始测度 $ \mu $，而在何种条件下其反而集中在一条曲线上？
• RQ3 在对数势能等于其在原点处值的集合 $ B $ 上，极限测度 $ \nu $ 的精确结构是什么？
• RQ4 沿 $ B $ 的势能角变差如何影响解在极限曲线上分布的密度？
• RQ5 是否可以利用 $ p_n(z) = p_n(0) $ 的根的渐近分布来分析 Blaschke 无旋级数？

主要发现

• 当 $ \mu $ 为径向时，$ p_n(z) = p_n(0) $ 的解在 $ n \to \infty $ 时依分布收敛于 $ \mu $，即 $ p_n(z) - p_n(0) $ 的根重现原始测度。
• 对于一般的非径向 $ \mu $，极限测度 $ \nu $ 在集合 $ A $ 上等于 $ \mu $，其中对数势能超过其在原点的值，且总质量 $ 1 - \mu(A) $ 支持在水平集 $ B $ 上。
• 在集合 $ B $ 上，解的密度由 $ \frac{1}{2\pi} \left| \frac{\partial}{\partial t} \int \arg(\gamma(t) - z) d\mu(z) \right|^{-1} $ 给出，其中 $ \gamma $ 是 $ B $ 的连通分支的弧长参数化，前提是满足正则性条件。
• 数值模拟表明，当 $ \mu $ 支撑在中心为 0 和 2 的两个单位圆上时，解在 $ A $ 上按 $ \mu $ 分布，在 $ B $ 中的四条曲线上集中，且由于原点处有根，靠近原点处存在轻微排斥效应。
• 原点总是 $ p_n(z) - p_n(0) $ 的根，且排斥效应形成一个逐渐缩小的无根区域，当 $ n \to \infty $ 时该区域消失。
• 期望对数增长 $ |p_n(0)| $ 为 $ \frac{1}{2} \log 2 $，且对数势能等于该值的点集定义了解的极限支撑。