[论文解读] One distribution function on the Moran sets

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文研究了一类通过受限 s-进制表示定义的 Moran 集的拓扑、度量和分形性质，引入了一种新颖的分布函数，将这些集合映射到实数区间。主要贡献在于利用基于数字概率的加权收缩比，推导出此类集合的 Hausdorff 维数的精确公式，推广了自相似 Cantor 集的经典结果。

ABSTRACT

In the present article, topological, metric, and fractal properties of certain sets are investigated. These sets are images of sets whose elements have restrictions on using digits or combinations of digits in own s-adic representations, under the map $f$, that is a certain distribution function.

研究动机与目标

• 分析通过受限 s-进制数字序列定义的 Moran 集的拓扑与度量结构。
• 研究此类集合的分形几何，特别是其 Hausdorff 维数。
• 引入并表征一种将受限 s-进制集合映射到实数区间的新型分布函数。
• 将经典自相似集合的维数公式推广至非均匀数字概率的情形。

提出的方法

• 本文定义了一类集合 $\mathbb{S}_{(P_s,u)}$，其中元素具有避免数字 $u$ 且仅使用特定数字组合的 s-进制表示。
• 它引入了一种基于独立同分布数字 $\xi_k$（概率为 $p_i$）的随机过程的分布函数，从而导出一个随机变量 $\eta$，其累积分布函数由 s-进制前缀导出。
• 该构造使用一种 P-表示法，其中每个数字组合 $\tau_j$ 具有权重 $\omega_j = \prod_{i=0}^{s-1} p_i^{N_i(\tau_j)}$，表示由这些组合定义的柱集的测度。
• Hausdorff 维数通过方程 $\sum_{j=1}^m \left( \prod_{i=0}^{s-1} p_i^{N_i(\tau_j)} \right)^{\alpha_0} = 1$ 计算，该方程将 Moran 方程推广至概率权重情形。
• 证明依赖于自相似性及相似比 $\omega_j$，以证明每个缩放后的集合副本在几何上与原集合相似，相似比为 $\omega_j$，从而可通过 Moran 方程计算维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 s-进制表示中数字使用受限且概率非均匀时，Moran 集的 Hausdorff 维数如何变化？
• RQ2 将受限 s-进制集合映射到实数区间的分布函数的函数形式是什么？它与底层数字概率有何关系？
• RQ3 能否将经典 Moran 方程（用于 Hausdorff 维数）推广至收缩比依赖于数字使用频率而非固定几何缩放的情形？
• RQ4 在何种条件下集合 $\mathbb{S}_{(P_s,u)}$ 是自相似且完备的？这对其分形维数有何影响？
• RQ5 权重 $\omega_j = \prod p_i^{N_i(\tau_j)}$ 如何影响由固定数字组合 $\tau_j$ 定义的集合的维数？

主要发现

• 集合 $\mathbb{S}_{(P_s,u)}$ 是一个完美、无处稠密、不可数、紧致且自相似的分形，其 Lebesgue 测度为零。
• 集合 $\mathbb{S}_{(P_s,u)}$ 的 Hausdorff 维数 $\alpha_0$ 满足方程 $\sum_{i \in A_0 \setminus \{u\}} (p_i p_u^{i-1})^{\alpha_0} = 1$，其中 $p_i$ 为数字 $i$ 的概率，$p_u$ 为数字 $u$ 的概率。
• 对于由有限个固定数字组合 $\tau_1, \dots, \tau_m$ 定义的集合 $E$，其 Hausdorff 维数 $\alpha_0$ 满足 $\sum_{j=1}^m \left( \prod_{i=0}^{s-1} p_i^{N_i(\tau_j)} \right)^{\alpha_0} = 1$，其中 $N_i(\tau_j)$ 表示在组合 $\tau_j$ 中数字 $i$ 的出现次数。
• 第 $n$ 阶柱集的直径与 $\prod_{i=0}^{s-1} p_i^{N_i(\tau_1 \dots \tau_n)}$ 成正比，表明概率权重如何缩放逼近区间的大小。
• 每个分量 $[I_{\tau_j} \cap E]$ 与全集 $E$ 的自相似比为 $\omega_j = \prod_{i=0}^{s-1} p_i^{N_i(\tau_j)}$，确认了维数计算所需的几何相似性。
• 分布函数 $F(x)$ 构造为随机变量 $\eta = \sum_{k=1}^\infty \xi_k / s^k$ 的累积分布函数，其中 $\xi_k$ 为独立同分布的随机变量，满足 $P(\xi_k = i) = p_i$，且 $F(x)$ 在 $\eta$ 的支撑集上连续且严格递增。