[论文解读] One-sided shift spaces over innite alphabets

William Ott, Mark Tomforde+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

semigroups and automata theory参考文献 32被引用 11

一句话总结

本文将无限字母表上的一边移位空间定义为紧致豪斯多夫空间，通过三类不同的形式对有限型移位进行推广。在‘流有限’条件下，证明了移位同态与滑动块编码一一对应，并将此结果应用于证明共轭的无限有向图移位所对应的广群与C*-代数同构。

ABSTRACT

We dene a notion of (one-sided) shift spaces over innite alphabets. Unlike many previous approaches to shift spaces over count- able alphabets, our shift spaces are compact Hausdor spaces. We ex- amine shift morphisms between these shift spaces, and identify three distinct classes that generalize the shifts of nite type. We show that when our shift spaces satisfy a property that we call ow-nite, shift morphisms on them may be identied with sliding block codes. As ap- plications, we show that if two (possibly innite) directed graphs have edge shifts that are conjugate, then the groupoids of the graphs are isomorphic, and the C -algebras of the graphs are isomorphic.

研究动机与目标

• 定义一类新的无限字母表上的移位空间，使其成为紧致豪斯多夫空间，以解决以往可数字母表方法的局限性。
• 将移位同态划分为三类不同的类别，以在无限字母表设定下推广有限型移位。
• 识别出移位同态可表示为滑动块编码的条件，特别关注‘流有限’性质。
• 将该理论应用于无限有向图，证明当边移位共轭时，其关联广群与C*-代数之间存在结构同构。

提出的方法

• 将一边移位空间在无限字母表上定义为赋予积拓扑的全移位空间的闭子集，以确保紧致性与豪斯多夫分离性。
• 引入‘流有限’移位空间的概念，通过限制任意有限前缀处的路径数量，实现对同态的有限表示。
• 将移位同态表征为移位空间之间的连续、与移位可交换的映射，并证明在流有限条件下，这些同态等价于滑动块编码。
• 利用无限有向图的结构定义其边移位，并证明此类移位的共轭性蕴含其关联广群的同构性。
• 应用C*-代数技术，证明同构的广群导致同构的C*-代数，借助移位空间框架实现此结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义无限字母表上的移位空间，以确保紧致性与豪斯多夫分离性，而避免以往方法的不足？
• RQ2 在无限字母表背景下，有限型移位的自然推广是什么？它们如何对移位同态进行分类？
• RQ3 在无限字母表移位空间中，移位同态与滑动块编码之间对应关系成立的条件是什么？
• RQ4 无限有向图的哪些结构不变量在边移位共轭下保持不变？
• RQ5 无限图的边移位共轭是否能推出其关联广群与C*-代数的同构？

主要发现

• 一边移位空间在无限字母表上可被定义为紧致豪斯多夫空间，为无限字母表动力系统提供了一个拓扑上行为良好的框架。
• 识别出三类不同的移位同态类别，它们在无限字母表设定下推广了有限型移位。
• 对于流有限移位空间，每个移位同态均可表示为滑动块编码，从而在代数结构与动力系统之间建立了直接对应关系。
• 若两个无限有向图的边移位共轭，则其关联广群同构。
• 无限有向图的边移位共轭蕴含其C*-代数同构，将经典结果推广至无限情形。