[论文解读] Online Learning of Quantum States

Scott Aaronson, Xinyi Chen+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文提出了用于量子态的在线学习算法，无论在可实现还是不可实现设置下，均能保证有界的预测误差和遗憾。通过利用凸优化、量子后选择（postselection）以及序列肥打碎维数（sequential fat-shattering dimension），证明了预测误差超过 ε 的次数最多为 O(n/ε²) 次，遗憾的增长速率约为 O(L√(nT) log³/²T)，显著优于经典态层析（tomography）方法，并将 Aaronson 的 PAC 可学习性结果扩展至在线和对抗性设置。

ABSTRACT

Suppose we have many copies of an unknown $n$-qubit state $ρ$. We measure some copies of $ρ$ using a known two-outcome measurement $E_{1}$, then other copies using a measurement $E_{2}$, and so on. At each stage $t$, we generate a current hypothesis $σ_{t}$ about the state $ρ$, using the outcomes of the previous measurements. We show that it is possible to do this in a way that guarantees that $|\operatorname{Tr}(E_{i} σ_{t}) - \operatorname{Tr}(E_{i}ρ) |$, the error in our prediction for the next measurement, is at least $\varepsilon$ at most $\operatorname{O}\!\left(n / \varepsilon^2 ight) $ times. Even in the "non-realizable" setting---where there could be arbitrary noise in the measurement outcomes---we show how to output hypothesis states that do significantly worse than the best possible states at most $\operatorname{O}\!\left(\sqrt {Tn} ight) $ times on the first $T$ measurements. These results generalize a 2007 theorem by Aaronson on the PAC-learnability of quantum states, to the online and regret-minimization settings. We give three different ways to prove our results---using convex optimization, quantum postselection, and sequential fat-shattering dimension---which have different advantages in terms of parameters and portability.

研究动机与目标

• 将 Aaronson 于 2007 年提出的量子态 PAC 可学习性结果扩展至在线学习与遗憾最小化设置。
• 设计适用于对抗性或自适应测量序列的学习算法，无需假设测量独立同分布（i.i.d.）的条件。
• 在测量不来自固定分布的情况下，建立量子态学习的一般化边界。
• 提供多种证明技术——凸优化、量子后选择与序列肥打碎维数——以增强鲁棒性与参数灵活性。
• 在存在噪声或任意测量序列的情况下，实现量子态在线学习中的次线性遗憾。

提出的方法

• 使用序列肥打碎维数来刻画量子态假设类的复杂度。
• 应用 Rakhlin 等人（2015 年）定理 9，基于量子态的序列肥打碎维数推导遗憾边界。
• 利用凸优化构建随时间最小化遗憾的在线学习策略。
• 利用量子后选择推导出区分期望值不同的量子态所需测量次数的边界。
• 通过测量序列上的组合论证，为可实现情形推导出 O(n/ε²) 的错误次数边界。
• 通过将序列肥打碎维数与现有在线学习理论相结合，建立 O(L√(nT) log³/²T) 的一般遗憾边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将量子态学习从 PAC 设置扩展至具有对抗性测量序列的在线学习模型？
• RQ2 在不可实现设置下，量子态在线学习的最优遗憾边界是什么？
• RQ3 能否利用量子态的序列肥打碎维数推导出在线学习中的泛化保证？
• RQ4 是否存在一种计算高效的在线算法，用于量子态学习并实现次线性遗憾？
• RQ5 在在线量子态学习中，与过去数据的近似一致性是否足以实现泛化？

主要发现

• 量子态的序列肥打碎维数有界于 O(n/ε²)，将 Aaronson 早期结果推广至序列设置。
• 在可实现情形下，预测误差超过 ε 的次数最多为 O(n/ε²)，确立了错误次数边界。
• 在不可实现情形下，遗憾上界为 O(L√(nT) log³/²T)，其中 L 为损失函数的利普希茨常数。
• 遗憾边界与测量次数无关，仅依赖于量子比特数与迭代次数。
• 即使测量序列是自适应或对抗性选择的，且无分布假设，该结果依然成立。
• 三种不同的证明技术——凸优化、量子后选择与序列肥打碎维数——均导出相同的遗憾边界，显示出结果的鲁棒性与可迁移性。