[论文解读] Online Multidimensional Packing Problems in the Random-Order Model

David Naori, Danny Raz|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Optimization and Search Problems参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在随机顺序模型下针对 $d$-维向量广义分配问题（VGAP）的在线算法，采用三阶段方法：结合采样、对重型物品使用最大权二分图匹配，以及对轻型物品使用线性规划松弛与随机舍入。该算法实现了 $O(d)$-竞争比，这是渐近最优的，并且优于以往在一维GAP和背包问题上的竞争比。

ABSTRACT

We study online multidimensional variants of the generalized assignment problem which are used to model prominent real-world applications, such as the assignment of virtual machines with multiple resource requirements to physical infrastructure in cloud computing. These problems can be seen as an extension of the well known secretary problem and thus the standard online worst-case model cannot provide any performance guarantee. The prevailing model in this case is the random-order model, which provides a useful realistic and robust alternative. Using this model, we study the $d$-dimensional generalized assignment problem, where we introduce a novel technique that achieves an $O(d)$-competitive algorithms and prove a matching lower bound of $Ω(d)$. Furthermore, our algorithm improves upon the best-known competitive-ratio for the online (one-dimensional) generalized assignment problem and the online knapsack problem.

研究动机与目标

• 解决在云计算与网络功能虚拟化中出现的在线多维装箱问题，传统最坏情况模型因竞争比表现不佳而失效。
• 在随机顺序模型下，为 $d$-维向量广义分配问题（VGAP）设计一种稳健的在线算法，以更真实地反映实际物品到达模式。
• 通过在统一框架中同时处理重型与轻型物品，克服以往算法中排除其中一类物品的局限性。
• 通过证明 $\Omega(d)$ 的下界，建立紧致的理论界限，与 $O(d)$ 的上界相匹配，证明其渐近最优性。
• 将框架扩展至特殊情形，如 $\{0,1\}$-VGAP 与向量多重背包问题（VMKP），展示其广泛应用性。

提出的方法

• 该算法分为三个阶段：首先进行采样阶段，仅观察初始物品而不进行装箱；随后分别对重型与轻型物品进行专门的装箱处理。
• 对于重型物品（在任一维上消耗超过一半箱子容量的物品），算法使用最大权二分图匹配计算暂定分配。
• 对于轻型物品（在任一维上消耗不超过一半箱子容量的物品），算法计算局部装箱问题的线性规划松弛的最优分数解，并应用随机舍入。
• 通过仅在暂定分配符合箱子剩余容量的前提下才进行装箱，确保算法的可行性，该容量基于局部解确定。
• 通过基于消耗向量中非零项数量的划分方法，将框架扩展至 $\{0,1\}$-VGAP；通过按容量对箱子排序，将框架扩展至VMKP。
• 理论分析利用概率论论证与矩阵构造方法推导下界，利用各维之间的独立性与容量约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机顺序模型下，是否可能设计出对 $d$-维广义分配问题具有与物品数量无关的竞争比的在线算法？
• RQ2 是否能够设计一种算法，有效装箱重型与轻型物品，避免如以往工作一样排除某一类物品？
• RQ3 在线多维装箱问题的最优竞争比是多少？是否可由下界匹配？
• RQ4 竞争比如何随维度 $d$ 变化？$O(d)$ 是否为最紧致的上界？
• RQ5 该框架能否在保留最优性的同时，适配至 $\{0,1\}$-VGAP 与 VMKP 等特殊情形？

主要发现

• 所提出的算法在随机顺序模型下，对 $d$-维向量广义分配问题（VGAP）实现了 $O(d)$-竞争比。
• 证明了向量背包问题的 $\Omega(d)$ 匹配下界，表明 $O(d)$ 竞争比是渐近最优的。
• 该算法优于目前已知的一维在线广义分配问题与在线背包问题的最佳竞争比。
• 对于 $\{0,1\}$-VGAP 的特殊情况，算法基于消耗向量中非零项的数量制定划分标准，以管理装箱决策。
• 该框架可扩展至至少包含两个相同箱子的 VMKP 情形，且 $O(d)$ 上界在该设定下依然紧致。
• 分析结果表明，该算法在计算能力无限制的条件下，性能依然稳健且最优，且无需任何复杂度假设。