[论文解读] Open Book Structures on Moment-Angle Manifolds $Z^{\mathbb C}(\Lambda)$ and Higher Dimensional Contact Manifolds

Yadira Barreto, Santiago López de Medrano+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文在复 moment-angle 流形 $Z^\mathbb{C}(\Lambda)$ 上构造了开口书分解，证明其页为形如 $N(\Lambda) \setminus N(\Lambda_0)$ 的复流形，并引入一种新方法，利用热流法构造任意高奇数维的紧致接触流形，产生正共形结构。主要贡献是在特定连通性与维数条件下，对这些开口书的页实现拓扑分类。

ABSTRACT

We construct open book structures on moment-angle manifolds and give a new construction of examples of contact manifolds in arbitrarily large dimensions.

研究动机与目标

• 利用简单严格多面体及其面的结构，在复 moment-angle 流形 $Z^\mathbb{C}(\Lambda)$ 上建立开口书分解。
• 在简单连通性与维数 $\geq 6$ 的假设下，对这些开口书的绑带与页提供精确的拓扑描述，特别针对 $k=2$ 的情形。
• 通过一种基于热流法的新方法，构造任意高奇数维的紧致接触流形，该方法可产生正共形结构。
• 证明 moment-angle 流形具有几乎接触与拟接触结构，支持所有几乎接触流形均为接触流形的猜想。

提出的方法

• 利用绑带为 $Z^\mathbb{C}(F)$ 且单行变换为平凡的开口书分解框架，其中 $F$ 是与 $Z^\mathbb{C}(P)$ 关联的多面体 $P$ 的一个面。
• 应用相对映射环面构造法，将开口书的页建模为在边界上同伦于恒等映射的微分同胚作用下的带边流形商。
• 利用热流法在 $Z^\mathbb{C}(\Lambda,n,s)$ 上构造一个正共形结构 $\alpha$，确保每一点均通过一条 Legendre 曲线与 $\alpha$ 为正的点相连，从而产生接触结构。
• 依赖 [16] 和 [21] 的结果，将页识别为复流形 $N(\Lambda) \setminus N(\Lambda_0)$，其中 $\Lambda_0$ 是从 $\Lambda$ 中移除一个元素后的集合。
• 利用 $h$-cobordism 定理与 Mayer-Vietoris 序列分析半流形 $Z^+$ 的拓扑，特别在 $n_1 = 1$ 且 $\ell > 1$ 的情形下，对它们的微分同胚类型进行分类。
• 应用广义 moment-angle 复形及其边界分解理论，推导出页的结构为球面与圆盘的乘积的连通和，或球面上嵌入乘积的外部。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地利用其定义数据的多面体结构，在复 moment-angle 流形 $Z^\mathbb{C}(\Lambda)$ 上构造开口书分解？
• RQ2 在 $k=2$ 的情形下，当满足简单连通性与维数 $\geq 6$ 的条件时，此类开口书分解的页与绑带的精确拓扑类型是什么？
• RQ3 能否通过一种独立于开口书分解的方法，在任意高奇数维中构造新的紧致接触流形？
• RQ4 热流法是否能在 $Z^\mathbb{C}(\Lambda,n,s)$ 上产生诱导出真正接触结构的正共形结构？若能，其与现有构造相比有何特点？
• RQ5 开口书分解在 $Z^\mathbb{C}(\Lambda)$ 上的页在何种程度上具有复结构？它们与 LV-M 复流形 $N(\Lambda)$ 有何关系？

主要发现

• 当 $k=2$ 时，若 $\ell=1$，$Z^\mathbb{C}(\Lambda)$ 上开口书的页微分同胚于流形 $S^{n_2-1} \times S^{n_3-1} \times D^{n_1-1}$ 的内部。
• 当 $\ell > 1$ 且 $n_1 > 1$ 时，页微分同胚于 $\ell+1$ 个形如 $S^{d_i-1} \times D^{n-d_i-2}$ 与 $D^{d_i-1} \times S^{n-d_i-2}$ 的流形的边界连通和。
• 当 $n_1 = 1$ 且 $\ell > 2$ 时，页为 $2\ell$ 个此类流形的边界连通和，再加上一个外部结构 $S^{d_2-1} \times S^{d_{\ell+2}-1} \setminus D^{n-3}$。
• 当 $n_1 = 1$ 且 $\ell = 2$ 时，页为 $S^{d_2-1} \times S^{d_4-1} \setminus D^{n-3}$ 与一个流形 $\tilde{E}$ 的边界连通和，其中 $\tilde{E}$ 是 $S^{n-3}$ 中嵌入的 $S^{n_2-1} \times S^{n_5-1}$ 的外部。
• $Z^\mathbb{C}(\Lambda,n,s)$ 流形可通过热流法获得正共形结构，该结构具有传导性，因此诱导出接触结构，从而为任意高奇数维中紧致接触流形提供了新的显式构造。
• 开口书的页被识别为形如 $N(\Lambda) \setminus N(\Lambda_0)$ 的复流形，其中 $\Lambda_0$ 是从 $\Lambda$ 中移除一个元素后的集合，且在条件 (K) 下，这些流形是复环面为纤维、底空间为 toric 轨面的 Seifert 纤维化结构。