[论文解读] OPEN GROMOV-WITTEN INVARIANTS AND SEIDEL REPRESENTATIONS FOR TORIC MANIFOLDS

Kwokwai Chan, Siu-Cheong Lau+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文在具有数值有效反 canonical 除子的紧致 toric 流形中，建立了开 Gromov-Witten 不变量与 Seidel 表示之间的联系。通过利用全纯盘构造量子模结构，并应用等变局部化，证明了 Seidel 元素对应于开 Gromov-Witten 不变量，从而以 toric 边界除子上的相对不变量形式，实现了量子乘积的几何实现。

ABSTRACT

Let X be a compact toric manifold whose anti-canonical divisor KX is numer- ically eective. Let

研究动机与目标

• 将开 Gromov-Witten 不变量的框架扩展至具有数值有效反 canonical 除子的紧致 toric 流形。
• 在量子上同调的背景下，研究 Seidel 表示与开不变量之间的关系。
• 通过边界位于 toric 除子上的全纯盘，实现量子乘积的几何实现。
• 利用等变局部化技术计算开不变量，并将其与 Seidel 元素关联。

提出的方法

• 利用边界位于 toric 边界除子上的全纯盘来定义开 Gromov-Witten 不变量。
• 在 toric 流形的等变上同调上构造一个量子模结构。
• 应用等变局部化，通过不动点贡献来计算开不变量。
• 将 Seidel 表示与量子乘积在量子模上的作用关联起来。
• 利用 toric 结构和反 canonical 除子条件，确保不变量的收敛性与良定义性。
• 通过量子模作用建立 Seidel 元素与开不变量之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 toric 流形中，开 Gromov-Witten 不变量与量子上同调中的 Seidel 表示之间有何关系？
• RQ2 Seidel 元素能否作为与全纯盘相关的开不变量被几何实现？
• RQ3 数值有效的反 canonical 除子在确保开不变量良定义性方面起到什么作用？
• RQ4 等变局部化在 toric 设置下如何促进开不变量的计算？
• RQ5 量子模结构在多大程度上通过开不变量编码了 Seidel 表示？

主要发现

• 哈密顿圆作用的 Seidel 表示被实现为量子乘积在开 Gromov-Witten 不变量上的作用。
• 与 toric 除子上全纯盘相关的开 Gromov-Witten 不变量被证明在等变上同调上生成了量子模。
• 在反 canonical 除子为数值有效的假设下，Seidel 元素与开不变量之间的对应关系成立。
• 等变局部化提供了一种具体的方法，将开不变量表达为不动点数据的形式。
• 量子模上的量子乘积同构于 Seidel 元素在上同调上的作用，从而在辛拓扑与量子上同调之间建立了深刻联系。
• 结果将先前在半正则 toric 流形中的构造推广到了具有数值有效反 canonical 除子的更广泛的 toric 流形类别。