[论文解读] Open Problems and Conjectures related to the Theory of Mathematical Quasicrystals

Faustin Adiceam|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2016

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 52被引用 8

一句话总结

本文汇编了数学准晶理论中的开放问题与猜想，聚焦于薛定谔算子的谱性质、密铺中的衍射图案、截面集的双李普希茨等价性，以及 ℝ^d 闭子集上的动力系统。文章提出了若干关键猜想，如模式斯蒂尔吉安序列的谱性质，以及准晶与格点之间的双李普希茨等价性，旨在统一准晶研究中的动力学、谱学与几何视角。

ABSTRACT

This list of problems arose as a collaborative effort among the participants of the Arbeitsgemeinschaft on Mathematical Quasicrystals, which was held at the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach in October 2015. The purpose of our meeting was to bring together researchers from a variety of disciplines with a common goal of understanding different viewpoints and approaches surrounding the theory of mathematical quasicrystals. The problems reflect this goal and this diversity and we hope that they will motivate further cross-disciplinary research and lead to new advances in our overall vision of this rapidly developing field.

研究动机与目标

• 汇编并传播数学准晶理论中未解决的问题，以激发跨学科研究。
• 研究与模式斯蒂尔吉安序列相关的薛定谔算子的谱性质，扩展已知的斯蒂尔吉安序列结果。
• 确定在窗与子空间满足丢番图条件与几何条件时，截面集是否总是与格点双李普希茨等价。
• 表征 SL_d(R) 与 ASL_d(R) 在 ℝ^d 闭子集空间上的作用下的不变测度。
• 探索非周期密铺中密铺复杂度、上同调与几何结构之间的关系。

提出的方法

• 通过在奥伯沃尔夫赫夫研究学院举办的合作问题研讨会提出开放问题，汇集动力系统、谱论与准晶几何领域顶尖专家的贡献。
• 应用符号动力学中的概念，包括复杂度函数 p(n) 与 p*(n)，以根据其组合结构对序列进行分类。
• 使用截面构造方法，从高维格点与窗构造 Delone 集，并分析其与格点的几何等价性。
• 应用遍历理论与齐性动力系统工具，特别是 SL_d(R) 与 ASL_d(R) 在 ℝ^d 闭子集空间上的作用。
• 采用拓扑与测度论方法，研究 Chabauty–Fell 拓扑中不变测度与极小集。
• 依赖于非周期序理论中的既定结果，包括 Delone 集理论、MLD 等价性与有界位移等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有具有 p*(n) = 2n 的模式斯蒂尔吉安序列是否都与具有零测度康托尔谱及奇异连续谱测度的薛定谔算子相关联？
• RQ2 在窗具有有界内部且边界测度可忽略，且子空间满足丢番图条件时，是否每个截面集都与格点双李普希茨等价？
• RQ3 ℝ^d 闭子集空间上所有 SL_d(R)-不变的博雷尔概率测度有哪些？它们与准晶动力学有何关联？
• RQ4 是否存在某个 Delone 集不与格点有界位移等价，但仍与格点双李普希茨等价？
• RQ5 密铺的复杂度与其上同调不变量之间的确切关系是什么，特别是在非周期、非周期密铺中？

主要发现

• 与斯蒂尔吉安序列相关的薛定谔算子的谱是一个零勒贝格测度的康托尔集，且所有谱测度均为奇异连续。
• 具有 p*(n) = 2n 的模式斯蒂尔吉安序列是比斯蒂尔吉安序列更广的类，且猜想其关联的薛定谔算子具有相同的谱性质。
• 当子空间满足丢番图条件，且窗的边界上闵可夫斯基维数小于 k−d 时，截面集与格点双李普希茨等价。
• 当 k=3，d=2，且窗为一维时，在子空间满足弱丢番图条件的情况下，截面集与格点双李普希茨等价。
• 当窗仅为有界而无边界测度可忽略时，存在截面集不与任何格点双李普希茨等价。
• 在 ℝ^d 闭子集空间中，ASL_d(R) 的极小集仅有固定点 ∅ 与 R^d，此结论已通过测度问题的拓扑类比确立。