[论文解读] Operadic bar constructions, cylinder objects, and homotopy morphisms of algebras over operads

Benoît Fresse|ArXiv.org|Feb 2, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出了一套框架，用于在环上的无界微分分次模上，通过操作子cobar构造，显式构造操作子代数的上纤维化替换。该研究引入了操作子范畴中的柱对象，并证明了操作子代数之间的同伦态射等价于操作子范畴中模型范畴的左同伦，将经典的bar对偶性推广至非零特征及无界情形。

ABSTRACT

The purpose of this paper is twofold. First, we review applications of the bar duality of operads to the construction of explicit cofibrant replacements in categories of algebras over an operad. In view toward applications, we check that the constructions of the bar duality work properly for algebras over operads in unbounded differential graded modules over a ring. In a second part, we use the operadic cobar construction to define explicit cyclinder objects in the category of operads. Then we apply this construction to prove that certain homotopy morphisms of algebras over operads are equivalent to left homotopies in the model category of operads.

研究动机与目标

• 将操作子cobar构造与bar对偶性推广至环上无界微分分次模上的操作子代数，而不仅限于特征零的域。
• 解决基环中Z-挠性和Z-分次情形下谱序列收敛性带来的技术挑战。
• 利用cobar构造显式定义操作子范畴中的柱对象。
• 建立操作子代数之间的同伦态射与操作子范畴模型范畴中左同伦之间的等价关系。
• 将该框架推广至普罗佩拉（properads），并为普罗佩拉代数同伦范畴中的等价关系提供一种新模型。

提出的方法

• 使用操作子cobar构造 $ B^c(\textsf{D}) $ 从一个协操作子 $ \textsf{D} $ 生成操作子的上纤维化替换，从而为 $ \textsf{P} $-代数提供上纤维化模型。
• 在操作子范畴中构造柱对象 $ \text{Cyl} B^c(\textsf{D}) $，以建模同伦等价。
• 从一个 $ \textsf{P} $-代数 $ A $ 定义一个 $ \textsf{D} $-余代数 $ \textsf{D}(A) $，并应用cobar构造以获得一个上纤维化 $ \textsf{P} $-代数 $ R_{\textsf{P}}(\Gamma_{\textsf{P}}(A)) $。
• 证明此类上纤维化 $ \textsf{P} $-代数之间的态射，通过柱对象构造，对应于操作子范畴模型范畴中的左同伦。
• 应用该构造证明：$ \textsf{P} $-代数之间的同伦态射等价于 $ B^c(\textsf{D}) $-代数范畴中的左同伦。
• 通过扩展柱对象构造并保持态射与左同伦之间的同伦等价性，将该框架推广至普罗佩拉。

实验结果

研究问题

• RQ1 操作子cobar构造能否推广至环上无界微分分次模上的操作子代数，而不仅限于特征零的域？
• RQ2 Z-挠性和Z-分次情形下谱序列的收敛性如何影响上纤维化替换的构造？
• RQ3 能否利用cobar构造在操作子范畴中显式定义柱对象？
• RQ4 操作子代数之间的同伦态射与操作子范畴模型范畴中的左同伦之间是否存在对应关系？
• RQ5 该框架能否推广至普罗佩拉，同时保持态射与左同伦之间的同伦等价性？

主要发现

• 即使底层dg模为无界且在一般环上，cobar构造 $ R_{\textsf{P}}(\Gamma_{\textsf{P}}(A)) $ 也能在 $ \textsf{P} $-代数范畴中为 $ \textsf{P} $-代数 $ A $ 提供一个上纤维化替换。
• 将 $ \Gamma_{\textsf{P}}(A) $ 构造为 $ \textsf{D} $-余代数，并对其应用cobar构造 $ R_{\textsf{P}}(\Gamma_{\textsf{P}}(A)) $，可为 $ A $ 提供一个显式的上纤维化模型，该模型在dg模结构满足弱假设下成立。
• 在操作子范畴中构造的柱对象 $ \text{Cyl} B^c(\textsf{D}) $ 允许将 $ \textsf{P} $-代数的同伦态射识别为模型范畴中操作子的左同伦。
• 在 $ \textsf{P} $-代数同伦范畴中，态射 $ f: (A, \phi^0) \to (A, \phi^1) $ 是弱等价当且仅当它源于 $ B^c(\textsf{D}) $-代数范畴中的左同伦。
• 该框架可推广至普罗佩拉，其中普罗佩拉范畴中的柱对象仍能诱导同伦态射与左同伦之间的等价，提示了普罗佩拉代数同伦范畴中等价关系的一种新模型。