[论文解读] Operadic categories and their skew monoidal categories of collections

Stephen Lack|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文引入了操作范畴的广义概念，并为每个此类范畴构造了两个偏序张量范畴的集合，使得这些范畴中的幺半体恰好对应于原始操作范畴上的操作律。关键贡献在于通过其关联的集合的偏序张量范畴，以一种新且等价的方式重新定义了操作范畴，其中一个版本允许完全重构原始范畴，另一个版本则确保右单位约束可逆。

ABSTRACT

I describe a generalization of the notion of operadic category due to Batanin and Markl. For each such operadic category I describe a skew monoidal category of collections, such that a monoid in this skew monoidal category is precisely an operad over the operadic category. In fact I describe two skew monoidal categories with this property. The first has the feature that the operadic category can be recovered from the skew monoidal category of collections; the second has the feature that the right unit constraint is invertible. In the case of the operadic category S of finite sets and functions, for which an operad is just a symmetric operad in the usual sense, the first skew monoidal category has underlying category [N, Set], and the second is the usual monoidal category of collections [P, Set] with the substitution monoidal structure.

研究动机与目标

• 将巴塔林与马尔克尔引入的操作范畴概念进行推广，以提供一个更简洁的范畴框架来研究操作律。
• 为每个广义操作范畴构造两个不同的集合的偏序张量范畴，使得这些范畴中的幺半体恰好是原始范畴上的操作律。
• 证明原始操作范畴可从其关联的集合的偏序张量范畴中重构，从而建立新的范畴表征。
• 识别出偏序张量范畴中右单位约束可逆的条件，从而在某些情况下导出一个张量范畴结构。
• 证明在对称操作律范畴的情况下，该构造可恢复标准的带有复合乘积的集合张量范畴。

提出的方法

• 将广义操作范畴定义为配备一个到有限序数范畴的基数函子，以及一组满足特定一致条件的函子 R_p 的范畴。
• 在广义操作范畴上的集合值预层范畴上定义一个偏序张量结构，使用类似复合的张量积。
• 构造集合的偏序张量范畴的两个版本：一个版本中，原始操作范畴可从该范畴及其到 [N, Set] 的 opmonoidal 函子中完全恢复；另一个版本中，右单位约束是可逆的。
• 利用从集合的偏序张量范畴到 [N, Set] 的 opmonoidal 函子，将广义结构与经典操作构造联系起来。
• 应用已知构造（斯蒂尔特的构造），将偏序张量范畴转化为右正规形式，使得右单位可逆，并证明在关键情况下可得到一个张量范畴。
• 验证所得张量范畴在对称操作律情况下与标准的带有复合乘积的集合范畴之间存在幺半体等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何推广操作范畴的概念，以允许更灵活且更简洁的操作律范畴框架？
• RQ2 能否为每个广义操作范畴构造一个集合的偏序张量范畴，使得其幺半体恰好是该范畴上的操作律？
• RQ3 在何种条件下，可从其关联的集合的偏序张量范畴中重构原始操作范畴？
• RQ4 集合的偏序张量范畴在何种情况下具有右正规结构，且何时可导出一个张量范畴？
• RQ5 在对称操作律范畴的情况下，该构造行为如何？是否能恢复标准的集合张量范畴？

主要发现

• 本文引入的广义操作范畴扩展了巴塔林与马尔克尔的原始定义，提供了更灵活的框架。
• 对于每个广义操作范畴，构造了两个集合的偏序张量范畴，使得其中的幺半体恰好对应于原始范畴上的操作律。
• 在第一种构造中，原始操作范畴可从集合的偏序张量范畴及其到 [N, Set] 的 opmonoidal 函子中完全恢复。
• 在第二种构造中，右单位约束是可逆的；当应用于对称操作律范畴时，所得范畴与标准的带有复合乘积的集合范畴之间存在幺半体等价。
• 在 2-树操作律范畴 Ω₂ 的情况下，该构造不满足幺半体性的充分条件，表明 Coll^U_Ω₂ 可能不是张量范畴。
• 本文建立了与双范畴中跨度的偏序幺半体之间的联系，表明在范畴 B 上的操作律范畴结构，其对偶是 Span 中的偏序幺半体结构。