[论文解读] Operads, tensor products, and the categorical Borel construction

Nick Gurski|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文建立了范畴化的Borel构造，将作用运算符嵌入到Cat上的2-单子中，通过群作用于张量幂来刻画张量结构。证明了$Λ$-多范畴作为Kleisli双范畴中的单子而出现，且余边界范畴恰好对应于$n$-果仙人掌群运算符。

ABSTRACT

We show that every action operad gives rise to a notion of monoidal category via the categorical version of the Borel construction, embedding action operads into the category of 2-monads on $\mathbf{Cat}$. We characterize those 2-monads in the image of this embedding, and as an example show that the theory of coboundary categories corresponds precisely to the operad of $n$-fruit cactus groups. We finally define $\mathbfΛ$-multicategories for an action operad $\mathbfΛ$, and show that they arise as monads in a Kleisli bicategory.

研究动机与目标

• 将群作用的古典Borel构造推广为作用运算符的范畴类比，扩展至作用运算符。
• 刻画作用运算符嵌入到Cat上的2-单子中的像，识别出编码结构化张量范畴的单子。
• 为作用运算符$Λ$定义$Λ$-多范畴，并证明其在Kleisli双范畴中的单子起源。
• 证明余边界范畴恰好对应于$n$-果仙人掌群运算符，统一表示论与运算符结构。

提出的方法

• 使用平移范畴$EX$和群的分类范畴$BG$来定义范畴化Borel构造。
• 利用自然的同构纤维化$p: EUG \Rightarrow BG$在Cat中建模普遍丛，作为单子构造的基础。
• 通过两种运算刻画作用运算符：块的直和与块的置换，推广对称群作用。
• 通过范畴化Borel构造将作用运算符嵌入到Cat上的2-单子中，证明像由在$n$重张量幂上带有$Λ(n)$-作用的单子组成。
• 将$Λ$-多范畴构造为自由$Λ$-运算符构造的Kleisli双范畴中单子的代数。
• 通过局部可缩性及自然变换的逐分量分析，证明$Λ$-多范畴与$Λ$的Kleisli双范畴中单子之间的双等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将群作用的古典Borel构造推广至具有群作用的运算符，即作用运算符？
• RQ2 哪些Cat上的2-单子可由作用运算符上的范畴化Borel构造产生，以及如何刻画它们？
• RQ3 $Λ$-多范畴背后的范畴结构是什么，它们与Kleisli双范畴中的单子有何关系？
• RQ4 余边界范畴是否对应于某个特定的作用运算符，若是，是哪一个？
• RQ5 能否从生成元与关系构造自由作用运算符，这与俱乐部理论有何关联？

主要发现

• 范畴化Borel构造将作用运算符完全忠实嵌入到Cat上的2-单子2-范畴中，其像由在张量幂上赋予$Λ(n)$-作用的单子组成。
• 余边界范畴的理论恰好由$n$-果仙人掌群运算符捕捉，建立了表示论与运算符结构之间的直接联系。
• $Λ$-多范畴的双范畴与自由$Λ$-运算符构造的Kleisli双范畴中离散范畴上的单子的双范畴之间存在双等价。
• Kleisli双范畴中的张量单子映射恰好对应于$Λ$-多函子，且2-细胞由其在底集上的函数值唯一确定。
• 单子双范畴的同伦范畴本质上是离散的，即2-细胞要么唯一存在，要么不存在，从而对态射施加了严格控制。
• 范畴$Λ$-运算符与Kleisli双范畴中终端集上的单子的双范畴之间存在等价，确认了$Λ$-运算符的单子性质。