[论文解读] About the equivalence between monads and monadic functors

Hadrian Heine|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文通过局部化构造，建立了以∞-范畴X为靶的单子函子的∞-范畴与X上单子的相反∞-范畴之间的等价性。此外，该等价性进一步被精炼以保持代数结构——如张量或∞-操作代数相容性——表明单子结构与单子代数的∞-范畴上的结构精确对应。

ABSTRACT

Given a $\infty$-category X we exhibit the $\infty$-category of right adjoint functors with target X as a localization of the opposite of the $\infty$-category of monads on X. This localization restricts to an equivalence between the $\infty$-category of monadic functors with target X and the opposite of the $\infty$-category of monads on X. We refine this result in the case that the monads carry algebraic structure, e.g. are monads on a (symmetric) monoidal $\infty$-category compatible with the (symmetric) monoidal structure, monads on a $\infty$-operad compatible with the $\infty$-operad structure or monads on a double $\infty$-category compatible with this structure. This says that structure on a monad corresponds to structure on its $\infty$-category of algebras. Moreover we prove dual results about left adjoint functors, comonads and comonadic functors.

研究动机与目标

• 通过局部化，建立以X为靶的单子函子的∞-范畴与X上单子的相反∞-范畴之间的范畴等价。
• 将此等价性扩展至具有附加代数结构的单子，例如与对称张量或∞-操作代数结构相容的单子。
• 对左伴随函子、余单子与余单子函子的结果进行对偶化。
• 表明单子上的代数结构会诱导其∞-范畴代数上的相应结构。

提出的方法

• 使用X上单子的相反∞-范畴的局部化来刻画以X为靶的右伴随函子。
• 通过将右伴随函子识别为全子范畴的普遍性质来构造该局部化。
• 将该局部化应用于具有附加结构的单子（例如张量或∞-操作代数相容性），在等价性中保持此类结构。
• 证明所得等价性限制为单子函子与相反单子之间的等价性。
• 通过相反∞-范畴对左伴随函子、余单子与余单子函子的构造进行对偶化。
• 通过证明单子上的结构会诱导其代数范畴上的结构，验证该对应关系保持代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将以X为靶的右伴随函子的∞-范畴表征为X上单子的相反∞-范畴的局部化？
• RQ2 具有代数结构的单子与其∞-代数范畴结构之间的精确关系是什么？
• RQ3 单子函子与相反单子之间的等价性如何推广至与对称张量或∞-操作代数结构相容的结构化单子？
• RQ4 在∞-范畴设定下，单子与单子函子之间的对偶性是否可推广至余单子与余单子函子？
• RQ5 单子上存在相容代数结构是否会在其代数范畴上诱导出相应结构？

主要发现

• 以X为靶的右伴随函子的∞-范畴等价于X上单子的相反∞-范畴的局部化。
• 该局部化诱导出以X为靶的单子函子的∞-范畴与X上单子的相反∞-范畴之间的等价性。
• 对于与代数结构相容的单子（如对称张量或∞-操作代数结构），其代数范畴上诱导的结构与单子所携带的结构一致。
• 对偶性扩展至左伴随函子、余单子与余单子函子，建立了余单子函子与相反余单子之间的对偶等价。
• 该对应关系保持结构：单子的代数特征（例如张量相容性）在其中的代数范畴上体现为相应特征。
• 结果表明，在∞-范畴设定下，单子结构与其代数范畴的结构之间存在精确的一一对应。