[论文解读] Operational Theories of Physics as Categories

Sean Tull|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2016

Advanced Algebra and Logic参考文献 24被引用 11

一句话总结

本文引入操作范畴作为物理学中操作-概率理论的范畴框架，通过范畴论推广了Chiribella等人提出的因果操作-概率理论。它建立了操作范畴（整体形式与部分形式）与带控制的操作理论（OTCs）之间的对应关系，表明每个OTC均可通过部分范畴中的余积完成为具有直和的理论，并识别出效应范畴——范畴逻辑中的核心概念——作为这类理论的一个子类。

ABSTRACT

We introduce a new approach to the study of operational theories of physics using category theory. We define a generalisation of the (causal) operational-probabilistic theories of Chiribella et al. and establish their correspondence with our new notion of an operational category. Our work is based on effectus theory, a recently developed area of categorical logic, to which we give an operational interpretation, demonstrating its relevance to the modelling of general probabilistic theories.

研究动机与目标

• 开发一个用于物理学操作理论的范畴框架，以推广Chiribella等人提出的因果操作-概率理论。
• 引入操作范畴作为效应范畴理论的弱化形式，适用于建模一般概率理论。
• 建立操作范畴（整体形式与部分形式）与带控制的操作理论（OTCs）之间的对应关系。
• 展示如何通过部分范畴中的余积，将任意OTC完成为具有直和的理论。
• 识别出与效应范畴精确对应的OTC子类，从而将范畴逻辑与操作物理联系起来。

提出的方法

• 在部分测试范畴（Par(B)）中使用余积来建模操作理论中的经典数据与粗粒化。
• 将操作范畴定义为具有测试、结果与概率额外结构的对称张量范畴。
• 引入部分测试范畴Par(B)，并证明其通过(−)total构造与整体范畴B等价。
• 构建一个完成函子(−)+，将每个OTC映射为一个具有直和的新OTC，利用Par(B)中的余积。
• 应用效应范畴理论来解释操作逻辑，特别是通过形如p: A → 1 + 1的谓词作为特征函数。
• 在OTC范畴与部分形式的操作范畴之间建立函子对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过余积与粗粒化在范畴论中形式化操作-概率理论？
• RQ2 带控制的操作理论（OTCs）的范畴结构是什么，它与效应范畴理论等现有框架有何关系？
• RQ3 是否可以使用范畴论中的余积，将任意操作理论完成为具有直和的理论？
• RQ4 哪些OTC对应于效应范畴，其子类由哪些公理刻画？
• RQ5 Par(B)中余积与部分态射的泛性质如何支持经典数据与概率过程的建模？

主要发现

• 本文建立了整体形式与部分形式操作范畴之间的对偶性，表明二者可通过(−)total与Par(−)函子相互确定。
• 每个带控制的操作理论（OTC）均可通过构造(−)+完成为一个具有直和的新OTC，该构造利用了部分范畴Par(B)中的余积。
• 定理18将具有直和的运算范畴与包含直和的OTC相联系，表明此类范畴恰好来源于具有该结构的OTC。
• 推论23识别出与效应范畴对应的OTC子类，表明效应范畴等价于满足公理1与2的OTC。
• 该框架为操作逻辑提供了范畴语义，其中谓词p: A → 1 + 1对应于经典逻辑中的子集，而态射f > g则建模粗粒化。
• 结果建立了OTC与操作范畴之间的函子对应关系，其中(−)+与Event(−)在具有直和的OTC范畴与部分形式操作范畴之间形成互逆等价。