[论文解读] Reformulating and Reconstructing Quantum Theory

Lucién Hardy|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 61被引用 96

一句话总结

本文在电路框架下，通过数学公理重新表述有限维量子理论，并从操作性公理重建量子理论。研究确立了量子理论唯一由若干公理所表征，包括本征性、信息局域性、层析局域性以及复合可置换性，从而将其与经典概率论及其他操作性理论区分开来。

ABSTRACT

We provide a reformulation of finite dimensional quantum theory in the circuit framework in terms of mathematical axioms, and a reconstruction of quantum theory from operational postulates. The mathematical axioms for quantum theory are the following: [Axiom 1] Operations correspond to operators. [Axiom 2] Every complete set of physical operators corresponds to a complete set of operations. The following operational postulates are shown to be equivalent to these mathematical axioms: [P1] Sharpness. Associated with any given pure state is a unique maximal effect giving probability equal to one. This maximal effect does not give probability equal to one for any other pure state. [P2] Information locality. A maximal measurement on a composite system is effected if we perform maximal measurements on each of the components. [P3] Tomographic locality. The state of a composite system can be determined from the statistics collected by making measurements on the components. [P4] Compound permutability. There exists a compound reversible transformation on any system effecting any given permutation of any given maximal set of distinguishable states for that system. [P5] Sturdiness. Filters are non-flattening. Hence, from these postulates we can reconstruct all the usual features of quantum theory: States are represented by positive operators, transformations by completely positive trace non-increasing maps, and effects by positive operators. The Born rule (i.e. the trace rule) for calculating probabilitieso follows. A more detailed abstract is provided in the paper.

研究动机与目标

• 在电路框架内，使用数学公理重新表述有限维量子理论。
• 从物理直观且操作基础的操作性公理出发，重建量子理论。
• 通过识别最小公理集，唯一地将量子理论与经典概率论及其他操作性理论区分开来。
• 确立量子理论是唯一满足本征性、信息局域性、层析局域性及复合可置换性公理的理论。

提出的方法

• 使用电路框架将量子过程建模为对导线的操作，其中操作以双张量表示。
• 引入‘物理算符’的概念，即在输入空间上关于部分转置保持正定的算符。
• 应用Choi-Jamiołkowski同构关系，将操作与算符关联，从而实现基于迹的概率计算。
• 利用基准制备和测量，对变换进行完全分解，并在局部推导出形式化体系。
• 使用双张量形式化体系，推广张量变换，包括通过变换矩阵和跳跃度量实现指标操作。
• 通过变换规则与一致性条件，推导出公理与操作性公理之间的数学等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在概率论框架下，唯一表征量子理论的最小操作性公理集是什么？
• RQ2 如何在电路框架内，使用数学公理重新表述量子理论？
• RQ3 部分转置条件在区分物理算符与一般算符中起什么作用？
• RQ4 系统上的变换如何与电路形式化中态与效应的结构相关联？
• RQ5 为何复合可置换性是唯一能将量子理论与其他理论区分开的关键，而仅靠可置换性则允许经典理论存在？

主要发现

• 量子理论唯一由本征性、信息局域性、层析局域性及复合可置换性公理所表征，从而与经典概率论区分开来。
• 数学公理——即操作对应于算符，且每一组完整的物理算符对应于一组完整操作——与操作性公理等价。
• 物理算符被定义为在输入空间上关于部分转置保持正定的算符，这是物理可实现性的关键条件。
• 双张量形式化体系推广了张量变换，并可通过变换矩阵与跳跃度量实现指标操作。
• 证明表明，态空间的维数必须按N^r缩放，其中r为正整数，从而得出仅量子理论满足这些公理的结论。
• 重建结果表明，经典概率论与量子理论是唯一与给定公理一致的两种理论，而通过以复合可置换性替代可置换性，可唯一选出量子理论。