[论文解读] Operator amenability of the Fourier algebra in the cb-multiplier norm

Brian Forrest, Volker Runde+1 more|ArXiv.org|Jan 6, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文证明，对于具有残余有限维表示的离散弱算子可乘群 $G$，其傅里叶代数在 cb-乘子范数下（记作 $A_{\mathrm{cb}}(G)$）是算子可乘的。值得注意的是，尽管 $\mathbb{F}_2$ 不是可乘群，但 $A_{\mathrm{cb}}(\mathbb{F}_2)$ 仍是算子可乘的。作者进一步证明，$A(G)$ 中的弱完全补子代数恰好对应于具有 cb-有界逼近恒等元的那些子代数。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group, and let $A_\cb(G)$ denote the closure of $A(G)$, the Fourier algebra of $G$, in the space of completely bounded multipliers of $A(G)$. If $G$ is a weakly amenable, discrete group such that $\cstar(G)$ is residually finite-dimensional, we show that $A_\cb(G)$ is operator amenable. In particular, $A_\cb(F_2)$ is operator amenable even though $F_2$, the free group in two generators, is not an amenable group. Moreover, we show that, if $G$ is a discrete group such that $A_\cb(G)$ is operator amenable, a closed ideal of $A(G)$ is weakly completely complemented in $A(G)$ if and only if it has an approximate identity bounded in the cb-multiplier norm.

研究动机与目标

• 研究 $A_{\mathrm{cb}}(G)$（即傅里叶代数 $A(G)$ 在 cb-乘子范数下的完备化）的算子可乘性。
• 确定 $A_{\mathrm{cb}}(G)$ 在非可乘群（特别是离散群如 $\mathbb{F}_2$）下是否为算子可乘。
• 以 cb-乘子范数有界的逼近恒等元为工具，刻画 $A(G)$ 中弱完全补子代数的特征。
• 通过算子空间技术，将 $A(G)$ 中子代数补子代数的已知结果从可乘情形推广至更一般情况。

提出的方法

• 将 $A_{\mathrm{cb}}(G)$ 定义为 $A(G)$ 在完全有界乘子空间中的闭包，赋予 cb-乘子范数。
• 利用算子空间理论及 Ruan 提出的算子可乘性概念，将 $A_{\mathrm{cb}}(G)$ 视为一种量化 Banach 代数进行分析。
• 应用 $A_{\mathrm{cb}}(G)$ 上的模理论，特别是完全有界模投影与 $\mathrm{VN}(G)$ 的对偶性，研究子代数的补子代数性质。
• 利用 $A_{\mathrm{cb}}(G)$ 是对偶空间的事实，提取逼近恒等元的弱*极限点，从而在 $\mathcal{M}_{\mathrm{cb}}(G)$ 中构造特征函数。
• 利用 $\mathrm{VN}(G)$ 及其对偶上投影的模同态性质，将有界乘子上延至 $A(G)$，证明对某些集合 $F$ 有 $1_F \in \mathcal{M}_{\mathrm{cb}}(A(G))$。
• 通过对偶性与模结构，建立子代数补子代数与 cb-有界逼近恒等元存在的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些非可乘离散群 $G$，$A_{\mathrm{cb}}(G)$ 是算子可乘的？
• RQ2 $A_{\mathrm{cb}}(G)$ 是否可能即使在 $G$ 不可乘时仍为算子可乘？
• RQ3 当 $A_{\mathrm{cb}}(G)$ 是算子可乘时，$A(G)$ 中的弱完全补子代数由什么特征刻画？
• RQ4 cb-有界逼近恒等元的存在性与 $A(G)$ 中子代数的补子代数之间是否存在联系？
• RQ5 算子空间技术如何将经典关于补子代数与逼近恒等元的结果推广至更一般情形？

主要发现

• 对于满足 $C^*(G)$ 残余有限维的离散弱算子可乘群 $G$，$A_{\mathrm{cb}}(G)$ 是算子可乘的。
• $A_{\mathrm{cb}}(\mathbb{F}_2)$ 是算子可乘的，尽管 $\mathbb{F}_2$ 不是可乘群，这提供了该背景下非可乘群算子可乘性的首个例子。
• $A(G)$ 的闭子代数 $I$ 是弱完全补子代数当且仅当其具有在 $\mathrm{cb}$-乘子范数下有界的逼近恒等元。
• 若 $A_{\mathrm{cb}}(G)$ 是算子可乘的，则 $A(G)$ 的闭子代数 $I$ 是完全补子代数当且仅当存在 $F \subset G$ 使得 $I = I(F)$ 且 $1_F \in \mathcal{M}_{\mathrm{cb}}(A(G))$。
• 若子代数 $I \subset A(G)$ 存在 $\mathrm{cb}$-有界逼近恒等元，则其对应集合 $F$ 的特征函数 $1_F$ 属于 $\mathcal{M}_{\mathrm{cb}}(A(G))$。
• 该证明方法通过利用 $A(G)^{**}$ 与 $\mathrm{VN}(G)$ 中的模同态与对偶性，将 [Woo1] 和 [Woo2] 的结果推广至非可乘群。