[论文解读] Opetopic bicategories: comparison with the classical theory

Eugenia Cheng|ArXiv.org|Apr 21, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文建立了在 Baez-Dolan 的 opetopic 框架中通过修改的普遍性条件定义的 opetopic 2-范畴与具有 lax 函子的经典双范畴之间的等价性。通过在 opetopic 2-范畴中引入 0-ary 和 2-ary 普遍 2-细胞的选择，作者构建了一个双范畴结构，证明了经过偏置的 opetopic 2-范畴的范畴与经典的双范畴的范畴是等价的。

ABSTRACT

We continue our previous modifications of the Baez-Dolan theory of opetopes to modify the Baez-Dolan definition of universality, and thereby the category of opetopic n-categories and lax functors. For the case n=2 we exhibit an equivalence between this category and the category of bicategories and lax functors. We examine notions of strictness in the opetopic theory.

研究动机与目标

• 建立 opetopic 定义的弱 2-范畴与经典双范畴理论之间的严格比较。
• 解决 opetopic 理论中复合的非唯一性与经典理论中复合的唯一定义之间的差异。
• 证明在涉及普遍细胞选择的适当修改下，opetopic 2-范畴的范畴与双范畴的范畴是等价的。
• 阐明严格性与 lax 性在 opetopic 框架中的作用，特别是在 2-函子和相干性语境下。

提出的方法

• 通过使用具有对象范畴而非集合的对称多范畴，修改 Baez-Dolan 的普遍性定义。
• 将 opetopic n-范畴定义为 I-opetopic 集，其中每个槽都有一个普遍占据者，且普遍占据者的复合仍是普遍的。
• 通过为 opetopic 2-范畴配备选定的 0-ary 和 2-ary 普遍 2-细胞，引入“偏置的 opetopic 2-范畴”。
• 通过将 0-细胞和 1-细胞保持不变，并将 2-细胞定义为 1-ary 2-细胞，利用选定的普遍 2-细胞诱导复合与单位，从 opetopic 2-范畴构造一个双范畴。
• 利用 4-细胞的普遍性质和复合的相干性，证明所得结构满足双范畴公理。
• 通过自然性和相干性证明结构同构，建立偏置 opetopic 2-范畴的范畴与具有 lax 函子的双范畴的范畴之间的函子等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 opetopic 定义的弱 2-范畴能否与经典双范畴定义等价？
• RQ2 opetopic 2-范畴中复合的非唯一性如何与经典双范畴中唯一的复合相协调？
• RQ3 普遍 2-细胞的选择（例如单位元和二元复合）在从 opetopic 2-范畴构造经典双范畴中起什么作用？
• RQ4 在所得双范畴中，结构同构（例如结合子和单位子）在 opetopic 框架下是否相干？
• RQ5 opetopic 2-范畴之间的 lax 函子与经典双范畴之间的 lax 函子有何关系？

主要发现

• 通过引入 0-ary 和 2-ary 普遍 2-细胞的选择，opetopic 2-范畴的范畴与具有 lax 函子的双范畴的范畴是等价的。
• 该等价性通过利用选定的普遍 2-细胞（用于单位元和二元复合）在 opetopic 2-范畴的底层数据上定义双范畴结构而建立。
• 通过 opetopic 框架中 4-细胞的普遍性质，验证了所得双范畴的结合律和单位律公理。
• 双范畴中的结构同构（a, l, r）通过 opetopic 设置中的普遍唯一性被证明是自然的，并满足五边形和三角形恒等式。
• opetopic 2-范畴之间的 lax 函子诱导出相应双范畴之间的 lax 函子，保持相干数据同构。
• 该证明表明，尽管 opetopic 框架允许非唯一的复合，但通过适当的选取和普遍构造，仍可恢复经典双范畴的结构。