[论文解读] Structures in higher-dimensional category theory

Tom Leinster|ArXiv.org|Sep 4, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用 19

一句话总结

本文通过在笛卡尔范畴 (S, ∗) 上的自由幺半群单子的代数范畴中引入 (S, ∗)-结构范畴作为范畴对象，将幺半群范畴推广至高维范畴理论。它在 (S, ∗)-结构范畴与多范畴之间建立了单子伴随关系，扩展了已知的幺半群范畴与多范畴之间的伴随关系，尽管遗忘函子并非满的，仅是忠实的。

ABSTRACT

This paper, written in 1998, aims to clarify various higher categorical structures, mostly through the theory of generalized operads and multicategories. Chapters I and II, which cover this theory and its application to give a definition of weak n-category, are largely superseded by my thesis (math.CT/0011106), but Chapters III and IV have not appeared elsewhere. The main result of Chapter III is that small Gray-categories can be characterized as the sub-tricategories of the tricategory of 2-categories, homomorphisms, strong transformations and modifications; there is also a conjecture on coherence in higher dimensions. Chapter IV defines opetopes and a category of n-pasting diagrams for each n, which in the case n=2 is a definition of the category of trees.

研究动机与目标

• 通过在任意笛卡尔范畴 (S, ∗) 上定义 (S, ∗)-结构范畴，将幺半群范畴的理论推广至更广范围。
• 将已知的幺半群范畴与多范畴之间的伴随关系推广至此更广泛的设定。
• 利用单子伴随关系研究 (S, ∗)-结构范畴背后的范畴结构。
• 阐明从 (S, ∗)-结构范畴到多范畴的遗忘函子的作用，表明其为忠实但非满的。

提出的方法

• 将 (S, ∗)-结构范畴定义为在 S 上的自由幺半群单子的代数范畴中的范畴对象。
• 利用 S 上的单子 ()∗ 构造代数范畴 S(∗)，作为定义结构范畴的基础。
• 构造一个从 (S, ∗)-结构范畴到多范畴的遗忘函子 U，证明其为忠实但非满的。
• 构造一个从多范畴到 (S, ∗)-结构范畴的自由函子 F，形成伴随关系 (F ⊣ U)。
• 使用单子性定理证明该伴随关系为单子的。
• 通过展示一个从 1 → Δ 的多范畴映射不保持幺半群结构，分析其非满性的原因。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维范畴理论中，如何将幺半群范畴推广至任意笛卡尔范畴 (S, ∗)？
• RQ2 (S, ∗)-结构范畴与多范畴之间的范畴关系是什么？
• RQ3 从 (S, ∗)-结构范畴到多范畴的遗忘函子是否为单子的？
• RQ4 为何遗忘函子不是满的，这对其多范畴映射的结构意味着什么？
• RQ5 自由幺半群单子 ()∗ 在定义结构范畴中起什么作用？

主要发现

• 本文成功地将幺半群范畴推广为 (S, ∗)-结构范畴，即作为 S 上自由幺半群单子的代数范畴中的范畴对象。
• 在 (S, ∗)-结构范畴范畴与多范畴范畴之间建立了单子伴随关系。
• 从 (S, ∗)-结构范畴到多范畴的遗忘函子为忠实但非满的，其反例涉及映射 1 → Δ。
• 非满性的原因在于某些多范畴映射虽保持对象，却不保持幺半群结构。
• 该构造推广了经典的幺半群范畴与多范畴之间的伴随关系，现对任意笛卡尔范畴 (S, ∗) 均成立。