[论文解读] Optimal Capacity Modification for Many-To-One Matching Problems

Jiehua Chen, Gergely Csáji|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2023

Game Theory and Voting SystemsEconomics, Econometrics and Finance被引用 3

一句话总结

本文研究了在多对一匹配问题中实现稳定且完美或稳定且帕累托效率匹配的最优容量增加。结果表明，尽管 Min Max SE（为实现稳定且高效匹配而最小化最大容量增加）可在多项式时间内求解，但其余所有变体——Min Sum SP、Min Sum SE 和 Min Max SP——均为 NP-难问题，且在标准复杂性假设下具有极强的不可近似性结果。

ABSTRACT

We consider many-to-one matching problems, where one side consists of students and the other side of schools with capacity constraints. We study how to optimally increase the capacities of the schools so as to obtain a stable and perfect matching (i.e., every student is matched) or a matching that is stable and Pareto-efficient for the students. We consider two common optimality criteria, one aiming to minimize the sum of capacity increases of all schools (abbrv. as MinSum) and the other aiming to minimize the maximum capacity increase of any school (abbrv. as MinMax). We obtain a complete picture in terms of computational complexity: Except for stable and perfect matchings using the MinMax criteria which is polynomial-time solvable, all three remaining problems are NP-hard. We further investigate the parameterized complexity and approximability and find that achieving stable and Pareto-efficient matchings via minimal capacity increases is much harder than achieving stable and perfect matchings.

研究动机与目标

• 确定通过修改学校容量以实现稳定且完美匹配的计算复杂性。
• 分析通过容量增加实现稳定且帕累托效率匹配的复杂性。
• 在最小化总容量增加（Min Sum）和最小化最大容量增加（Min Max）两种准则下，评估容量修改的最优性。
• 研究所得问题的参数化复杂性与近似性。
• 为多对一匹配中的四种容量修改变体提供完整的计算复杂性图景。

提出的方法

• 通过基于构件的构造，从 3-SAT 问题约化，证明 Min Sum SP、Min Sum SE 和 Min Max SP 的 NP-难性。
• 使用偏好列表长度有界的 3-SAT 约化，证明不可近似性：除非 P=NP，否则不存在 O((n+m)^{1−ε})-近似算法。
• 从可行的容量增加向量构造稳定且高效的匹配，确保与 3-SAT 实例中的真值赋值一致。
• 通过证明 Min Max SE 可约化为带容量约束的最大流问题，证明其可在多项式时间内求解。
• 使用 |U_un|（未匹配学生数）、Δ_un（偏好列表长度）和 k^+（容量增加的学校数量）等参数分析参数化复杂性。
• 采用从稳定匹配到满足 3-SAT 实例的真值赋值映射，建立可行解与满足赋值之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小化最大容量增加以实现稳定且帕累托效率匹配（Min Max SE）的问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ2 最小化总容量增加以实现稳定且完美匹配（Min Sum SP）和稳定且高效匹配（Min Sum SE）的问题是否为 NP-难？
• RQ3 Min Max SP 和 Min Sum SP 问题是否可常数因子或次多项式因子近似？
• RQ4 以未匹配学生数量或最大偏好列表长度等参数为基准时，容量修改问题的参数化复杂性如何？
• RQ5 对于 Min Sum SE 和 Min Max SE，是否存在非平凡的近似算法，或在标准复杂性假设下是否不可近似？

主要发现

• Min Max SE（为实现稳定且高效匹配而最小化最大容量增加）可在多项式时间内求解。
• Min Sum SP（为实现稳定且完美匹配而最小化总容量增加）为 NP-难问题。
• Min Sum SE（为实现稳定且高效匹配而最小化总容量增加）为 NP-难问题。
• Min Max SP（为实现稳定且完美匹配而最小化最大容量增加）为 NP-难问题。
• 除非 P = NP，否则 Min Sum SE 或 Min Max SE 不存在 O((n+m)^{1−ε})-近似算法，即使偏好列表长度被限制为 5。
• 当以 |U_un|（未匹配学生数）或学生与学校偏好列表长度之和为参数时，该问题仍为 paraNP-难。