[论文解读] Optimal control of a parabolic fractional PDE: analysis and discretization

Christian Glusa, Enrique Otárola|arXiv (Cornell University)|May 24, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 35被引用 8

一句话总结

本文提出了一种全离散数值格式，用于求解由具有积分分数阶拉普拉斯算子的抛物型分数阶PDE控制的线性-二次最优控制问题。该方法结合了隐式后向欧拉时间离散化与空间上的分段线性有限元方法，以及控制变量的分段常数函数逼近，首次获得了 $L^2(0,T;L^2(\theta))$ 的先验误差估计，并在数值实验中验证了最优收敛速率。

ABSTRACT

We consider the integral definition of the fractional Laplacian and analyze a linear-quadratic optimal control problem for the so-called fractional heat equation; control constraints are also considered. We derive existence and uniqueness results, first order optimality conditions, and regularity estimates for the optimal variables. To discretize the state equation equation we propose a fully discrete scheme that relies on an implicit finite difference discretization in time combined with a piecewise linear finite element discretization in space. We derive stability results and a novel $L^2(0,T;L^2(Ω))$ a priori error estimate. On the basis of the aforementioned solution technique, we propose a fully discrete scheme for our optimal control problem that discretizes the control variable with piecewise constant functions and derive a priori error estimates for it. We illustrate the theory with one- and two-dimensional numerical experiments.

研究动机与目标

• 分析具有积分分数阶拉普拉斯算子的抛物型分数阶最优控制问题的解的存在性、唯一性及正则性。
• 开发一种结合隐式时间离散化与状态方程有限元空间逼近的全离散数值格式。
• 推导状态变量与控制变量在 $L^2(0,T;L^2(\theta))$ 范数下的先验误差估计。
• 提出一种具有分段常数控制逼近的全离散最优控制格式，并建立相应的先验误差估计。
• 通过一维和二维数值实验验证理论结果，并进行收敛速率分析。

提出的方法

• 使用隐式后向欧拉格式进行时间离散化，空间上采用一致的分段线性有限元方法对状态方程进行离散。
• 在空间和时间上均采用分段常数函数对控制变量进行逼近。
• 为状态方程推导变分格式，进而得到一个需数值求解的鞍点系统。
• 分析基于分数阶拉普拉斯算子的积分定义，其通过 $\mathbb{R}^n$ 上的奇异积分定义，且在区域 $\Omega$ 外部通过零延拓。
• 利用能量方法与非局部Sobolev空间中的插值理论，推导稳定性与先验误差估计。
• 在拟均匀网格与 graded 网格上进行数值实验，评估 $L^2(Q)$ 与 $L^2((0,T),H^s(\Omega))$ 范数下的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有积分分数阶拉普拉斯算子的抛物型分数阶PDE最优控制问题的解是否存在且唯一？
• RQ2 在数据光滑性假设最弱的条件下，最优状态与控制变量的正则性如何？
• RQ3 全离散格式在 $L^2(0,T;L^2(\Omega))$ 范数下对状态方程的收敛速率是多少？
• RQ4 对于 $s \in (1/2,1)$，graded 网格如何影响数值格式的收敛行为？
• RQ5 具有分段常数控制逼近的全离散最优控制问题的先验误差估计是什么？

主要发现

• 首次为应用于状态方程的全离散格式，推导出 $L^2(0,T;L^2(\Omega))$ 范数下的新颖先验误差估计。
• 在拟均匀网格上，状态变量在 $L^2(Q)$ 范数下的收敛速率达到最优，为 $\mathcal{O}(\tau + h)$。
• 在 grading 参数 $\kappa=2$ 的 graded 网格上，收敛速率得到改善，尤其在 $s=0.75$ 时，表明对奇异解的逼近更优。
• 控制变量在 $L^2(Q)$ 范数下的误差收敛速率为 $\mathcal{O}(\tau + h)$，与理论估计一致。
• 数值实验结果验证了一维与二维问题在不同 $s$ 值与网格类型下的理论收敛速率。
• 分析进一步推广至具有控制约束 $\mathsf{a}(x,t) \leq \mathsf{z}(x,t) \leq \mathsf{b}(x,t)$ 的问题，且该格式保持稳定与收敛。