[论文解读] Optimal control of diffusion equation with fractional time derivative with nonlocal and nonsingular Mittag-Leffler kernel

Jean‐Daniel Djida, Gisèle Mophou+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 13被引用 3

一句话总结

该论文针对时间方向具有非局部、非奇异的Mittag-Leffler核分数阶导数的分数阶扩散方程，利用谱方法证明了所有 α ∈ (0,1) 范围内解的存在性与唯一性。此外，通过拉格朗日乘子法建立了并求解了最优控制问题，推导出一阶最优性系统，从而得到使二次型代价泛函最小化的唯一控制。

ABSTRACT

In this paper, we consider a diffusion equation with fractional-time derivative with nonsingular Mittag-Leffler kernel in Hilbert spaces. Existence and uniqueness of solution are proved by means of a spectral argument. The existence of solution is obtained for all values of the fractional parameter $α\in (0,1)$. Moreover, by applying control theory to the fractional diffusion problem we obtain an optimality system which has also a unique solution.

研究动机与目标

• 针对所有 α ∈ (0,1) 建立具有Atangana-Baleanu时间导数的分数阶扩散方程解的存在性与唯一性，克服了经典Caputo和Riemann-Liouville形式中仅限于 α ∈ (1/2,1) 的限制。
• 为具有Atangana-Baleanu分数阶导数的分数阶扩散方程制定并分析最优控制问题，目标是最小化包含状态跟踪误差与控制努力的二次型代价泛函。
• 利用拉格朗日乘子法推导一阶最优性系统，确保唯一最优控制的存在性。
• 证明Atangana-Baleanu分数阶导数可使整个 α ∈ (0,1) 范围内问题适定，而经典分数阶导数则不具备此性质。
• 提供一种构造性框架，通过伴随状态系统与最优性条件计算最优控制。

提出的方法

• 利用希尔伯特空间中的谱理论分析具有Atangana-Baleanu分数阶导数（阶数 α ∈ (0,1)）的分数阶扩散方程。
• 应用Atangana-Baleanu分数阶导数的分部积分公式，推导出问题的弱形式。
• 应用Lax-Milgram引理由证明状态方程弱解的存在性与唯一性。
• 构建包含状态跟踪误差与通过Tikhonov型项正则化的控制项的代价泛函的最优控制问题。
• 通过时间反向的Atangana-Baleanu导数，推导出时间反向的伴随状态方程，其终端条件为 η(T) = 0。
• 应用拉格朗日乘子法推导一阶最优性系统，得到控制公式 ū = −η/𝒩。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否针对所有 α ∈ (0,1)，包括 α ≤ 1/2 的情况，证明具有Atangana-Baleanu时间导数的分数阶扩散方程解的存在性与唯一性？
• RQ2 如何为具有非奇异、非局部Mittag-Leffler核的分数阶导数驱动的扩散方程制定并求解最优控制问题？
• RQ3 此类控制问题的最优性系统结构如何？其是否能保证唯一最优控制的存在？
• RQ4 选择Atangana-Baleanu导数相较于Caputo或Riemann-Liouville导数，对状态方程与伴随方程的正则性与可解性有何影响？
• RQ5 最优控制能否显式地用伴随状态表示？其对应的反馈律为何？

主要发现

• 证明了具有Atangana-Baleanu时间导数的分数阶扩散方程在所有 α ∈ (0,1) 范围内解的存在性与唯一性，扩展了以往仅限于 α ∈ (1/2,1) 的结果。
• 最优控制问题存在唯一解，且最优控制由公式 ū = −η/𝒩 显式表出，其中 η 为伴随方程的解。
• 一阶最优性系统由状态方程、具有终端条件的伴随方程以及控制公式构成，完整刻画了最优控制。
• 伴随状态 η 属于 L²((0,T); H²(Ω) ∩ H₀¹(Ω))，确保最优性条件成立所需的足够正则性。
• 代价泛函的泛函导数在最优控制处为零，证实所推导的控制满足必要最优性条件。
• 该方法成功将最优控制理论推广至具有非奇异、非局部核的分数阶PDE，为具有记忆效应的复杂系统提供了稳健的理论框架。