[论文解读] Optimal Deterministic Routing and Sorting on the Congested Clique

Christoph Lenzen|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文提出了在拥塞 clique 模型中首个确定性、常数轮次的最优路由与排序算法，该模型中每个节点在每轮中通过 O(log n) 位与所有其他节点通信。通过利用分层消息路由、二分多图边着色以及高效的本地计算，作者在两个问题上均实现了最优的 O(1) 轮次，解决了该模型中确定性复杂度长期存在的开放性问题。

ABSTRACT

Consider a clique of n nodes, where in each synchronous round each pair of nodes can exchange O(log n) bits. We provide deterministic constant-time solutions for two problems in this model. The first is a routing problem where each node is source and destination of n messages of size O(log n). The second is a sorting problem where each node i is given n keys of size O(log n) and needs to receive the ith batch of n keys according to the global order of the keys. The latter result also implies deterministic constant-round solutions for related problems such as selection or determining modes.

研究动机与目标

• 为解决拥塞 clique 模型中随机化与确定性算法之间的差距，其中随机化方案可实现常数轮次，但确定性方案尚不明确。
• 设计一种确定性算法，使路由问题在 O(1) 轮次内完成，其中每个节点发送并接收 n 条大小为 O(log n) 的消息。
• 在 O(1) 轮次内解决排序问题，其中每个节点持有 n 个键，必须在全局有序顺序中获取其分配的键块。
• 证明确定性常数轮次解也意味着相关问题（如选择与众数计算）的高效解。

提出的方法

• 基于将节点划分为大小为 √n 的组，构建分层路由结构，以在全网中高效分发消息。
• 采用两阶段路由策略：首先使用轮转模式将消息路由至中间节点，然后在单轮内转发至最终目的地。
• 采用二分多图边着色技术，为消息分配通信信道，避免冲突，确保任意节点不超出其带宽限制。
• 使用 Cole-Vishkin 算法的改进版本对二分多图进行边着色，时间复杂度为 O(|E| log Δ)，并调整以适应常数轮次限制。
• 在每个节点集成本地排序与聚合步骤，利用桶排序与前缀计算管理键的排序与索引。
• 在排序后使用两轮通告阶段，使所有节点能够计算其键在全局有序序列中的全局索引，从而支持选择与众数问题的高效求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在消息大小为 O(log n) 的拥塞 clique 模型中，能否在 O(1) 轮次内实现最优的确定性路由？
• RQ2 是否存在一种确定性常数轮次算法，可在拥塞 clique 模型中对每个节点持有的 n 个键进行排序，使每个节点在全局顺序中获取其分配的键块？
• RQ3 该排序算法能否扩展至在常数轮次内解决相关问题（如选择与众数计算）？
• RQ4 当每条边每轮的带宽限制为 O(log n) 位时，确定性路由与排序的计算与通信复杂度是多少？

主要发现

• 本文提出了一种确定性路由算法，仅用 37 轮完成，实现最优消息传递，且任意节点在每轮中均未超过其 O(log n) 带宽限制。
• 设计了一种确定性排序算法，仅用 37 轮完成，使每个节点能够获取其分配的 n 个键在全局有序顺序中的完整信息。
• 该排序算法使所有节点可在常数轮次内计算其键在总有序序列中的全局索引，从而支持高效的选择与众数计算。
• 该算法通过新颖地结合分层路由、二分多图边着色与本地计算，在带宽受限条件下实现了常数轮次复杂度。
• 结果表明，确定性算法可在拥塞 clique 模型中达到与随机化方案相当的轮次复杂度，填补了文献中的关键空白。
• 该方法对非整数 √n 具有鲁棒性，通过调整消息大小，确保所有 n 均满足 37 轮界限，仅需常数因子增加消息大小。