[论文解读] Optimal estimation of some random quantities of a Lévy process

Jevgeņijs Ivanovs, Mark Podolskij|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2020

Probability and Risk Models参考文献 40被引用 5

一句话总结

本文提出了一类条件最优估计量——具体而言，是 Lévy 过程关键泛函的条件均值与条件中位数，包括上确界、下确界、局部时和occupation time测度，基于高频观测。研究证明，在自相似性和正则性假设下，这些估计量的渐近效率高于经典方法，其收敛速度对上确界达到最优的 $n^{-1/2}$，对 occupation time 达到 $n^{-3/4}$。

ABSTRACT

In this paper we present new theoretical results on optimal estimation of certain random quantities based on high frequency observations of a Lévy process. More specifically, we investigate the asymptotic theory for the conditional mean and conditional median estimators of the supremum/infimum of a linear Brownian motion and a stable Lévy process. Another contribution of our article is the conditional mean estimation of the local time and the occupation time measure of a linear Brownian motion. We demonstrate that the new estimators are considerably more efficient compared to the classical estimators. Furthermore, we discuss pre-estimation of the parameters of the underlying models, which is required for practical implementation of the proposed statistics.

研究动机与目标

• 解决高频频度假设下 Lévy 过程随机泛函缺乏最优性理论的问题。
• 为线性布朗运动和稳定 Lévy 过程的上确界、下确界、局部时和 occupation time 测度开发渐近高效估计量。
• 证明经典估计量（如观测值的最大值）虽为速率最优，但非渐近高效。
• 为实际应用中所需模型参数的预估计提供框架。
• 将关于稳定过程条件为正的条件推导结果扩展，并导出退出概率的统一界。

提出的方法

• 当 $\mathbb{E}[Q^2] < \infty$ 时，使用条件均值 $\mathbb{E}[Q \mid (X_{i/n})_{i=0}^n]$ 作为最优的 $L^2$-预测器；当 $\mathbb{E}[|Q|] < \infty$ 时，使用条件中位数 $\text{med}[Q \mid (X_{i/n})_{i=0}^n]$ 作为最优的 $L^1$-预测器。
• 应用 $h$-变换和杜布的 $h$-变换表示法，刻画 Lévy 过程条件为正时的分布。
• 利用稳定 Lévy 过程的自相似性和标度性质，推导在条件约束下上确界与下确界尾概率的统一界。
• 通过分析采样频率增加时条件分布的收敛性，推导条件估计量的弱极限定理。
• 使用 Feller 过程表示 $X^\uparrow$ 作为过程 $X$ 条件为正时的版本，并推导 $\mathbb{P}^\uparrow_x(\sup_{h\in[0,1]}|X_{1+h}-X_h| > v)$ 的界。
• 应用正则变体和 Lévy 密度的渐近分析，以控制退出与上确界分布的尾部行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lévy 过程的上确界与下确界之条件均值与中位数估计量，是否能实现高于经典估计量的渐近效率？
• RQ2 从高频观测中估计线性布朗运动的局部时与 occupation time 测度，其最优收敛速率为何？
• RQ3 在高频采样下，条件估计量的渐近分布如何表现？其极限分布为何？
• RQ4 稳定 Lévy 过程条件为正时，其上确界与下确界尾概率的统一界为何？
• RQ5 如何预估模型参数，以实现所提条件估计量的实际应用？

主要发现

• 对于线性布朗运动和稳定 Lévy 过程的上确界与下确界，所提出的条件均值与中位数估计量，其渐近效率高于基于高频观测最大值的经典估计量。
• 对于稳定 Lévy 过程的上确界，所提估计量达到最优收敛速率 $n^{-1/2}$，与经典估计量速率一致，但效率更高。
• 对于 occupation time 测度，所提估计量达到最优收敛速率 $n^{-3/4}$，与文献 [38] 结果一致，但通过条件化实现更高效率。
• 本文建立了统一界 $\mathbb{P}^\uparrow_x(\sup_{h\in[0,1]}|X_{1+h}-X_h| > v) \leq c v^{-\alpha}$（$x > v > 0$），其中 $\alpha \in (0,2)$ 为稳定性指数，表明条件过程具有重尾增量。
• 即使 $Q$ 的二阶矩无穷，条件中位数估计量在 $L^1$ 意义下仍为最优，使其适用于更广泛的泛函类。
• 结果可扩展至局部时与 occupation time 测度，证明条件均值估计量比文献中基于核或黎曼和的估计量更高效。