[论文解读] Optimal graphon estimation in cut distance

Olga Klopp, Nicolas Verzélen|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Graph theory and applications参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文在切距离度量下建立了图翁和连接概率矩阵的极小极大估计速率，表明原始邻接矩阵在此度量下已为最优——无需进一步处理即可改善收敛速率。令人惊讶的是，这与 $L_2$ 等其他度量形成对比，在后者中更复杂的估计器可实现更优速率。

ABSTRACT

Consider the twin problems of estimating the connection probability matrix of an inhomogeneous random graph and the graphon of a W-random graph. We establish the minimax estimation rates with respect to the cut metric for classes of block constant matrices and step function graphons. Surprisingly, our results imply that, from the minimax point of view, the raw data, that is, the adjacency matrix of the observed graph, is already optimal and more involved procedures cannot improve the convergence rates for this metric. This phenomenon contrasts with optimal rates of convergence with respect to other classical distances for graphons such as the l 1 or l 2 metrics.

研究动机与目标

• 确定在切距离度量下图翁和连接概率矩阵的极小极大估计速率。
• 研究在切距离度量下，更复杂的估计程序是否能优于原始邻接矩阵的收敛速率。
• 分析在密集和稀疏情形下，块常数矩阵与阶梯函数图翁的估计问题。
• 通过在弱同构图翁的商空间中工作，解决图翁估计中的可辨识性问题。
• 在图翁估计背景下，比较切距离与其他经典度量（如 $L_1$ 和 $L_2$）的性能。

提出的方法

• 作者考虑具有图翁 $W_0$ 的 $W$-随机图模型，其中边概率通过潜变量 $\xi_i \sim \text{Uniform}[0,1]$ 生成。
• 他们将切距离 $\delta_1$ 定义为弱同构图翁的商空间 $\widetilde{\mathcal{W}}^+$ 上的度量，从而实现对等价类的估计。
• 对于具有 $k$ 个块的阶梯函数图翁，他们基于经验群频率 $\widehat{\lambda}_a$ 构造了一个重参数化估计器 $\widehat{f}'$，以对齐估计图翁与真实图翁。
• 他们使用保测度映射 $\psi$ 重新分配潜变量，使得估计图翁 $\widehat{f}'$ 与经验图翁 $\widetilde{f}_{\boldsymbol{\Theta}^*}$ 弱同构。
• 通过浓度不等式，他们界定了 $\widehat{f}'$ 与 $f'$ 之间的期望 $L_1$ 距离，利用 $\mathbb{E}[|\lambda_a - \widehat{\lambda}_a|] \leq \sqrt{\lambda_a(1 - \lambda_a)/n}$。
• 他们通过界 $\mathbb{E}_{W^*}[\|\widehat{f}' - f'\|_1] \leq C\rho_n \|W^*\|_2 \sqrt{k/n}$（其中 $W^* \in \mathcal{W}^+_2[k]$）及 $\mathcal{W}^+_1[k,\mu]$ 的类似界，推导出极小极大速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 原始邻接矩阵在切距离度量下对图翁估计是否为极小极大最优？
• RQ2 在切距离度量下的估计速率与 $L_1$ 或 $L_2$ 度量下的速率相比如何？
• RQ3 更复杂的估计器是否能在切距离风险方面优于原始邻接矩阵？
• RQ4 在切距离度量下，块常数矩阵与阶梯函数图翁的极小极大速率是多少？
• RQ5 稀疏度水平 $\rho_n$ 如何影响切距离下的极小极大估计速率？

主要发现

• 原始邻接矩阵在切距离度量下实现了图翁估计的极小极大最优速率，意味着任何进一步处理都无法改善收敛速率。
• 对于 $W^* \in \mathcal{W}^+_2[k]$，极小极大速率为 $\rho_n \|W^*​\|_2 \sqrt{k/n}$，且该速率无法被任何估计器改进。
• 对于 $W^* \in \mathcal{W}^+_1[k,\mu]$，极小极大速率为 $\rho_n \|W^*\|_1 \sqrt{k/(\mu n)}$，并具有相同的最优性结果。
• 切距离度量导致与 $L_2$ 或 $L_1$ 度量截然不同的极小极大行为，后者中更复杂的估计器可优于原始邻接矩阵。
• 通过在商空间 $\widetilde{\mathcal{W}}^+$ 中工作，解决了由于弱同构导致的可辨识性问题，且切距离在该变换下保持不变。
• 分析表明，当与保测度重分配结合时，经验群频率 $\widehat{\lambda}_a$ 足以构造出极小极大最优估计器。