[论文解读] Optimal Linear Broadcast Rates of the Two-Sender Unicast Index Coding Problem with Fully-Participated Interactions

Chinmayananda Arunachala, Vaneet Aggarwal+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文在完全参与交互的条件下，建立了两发送者单播索引编码问题的最优线性广播速率及显式码构造。最优速率由三个相关单发送者子问题的最优速率导出，为相关部分参与交互情形提供了紧致下界，并实现了多发送者索引编码系统的可扩展解决方案。

ABSTRACT

The two-sender unicast index coding problem consists of finding optimal coded transmissions from the two senders which collectively know the messages demanded by all the receivers. Each receiver demands a unique message. One important class of this problem consists of the message sets at the senders and the side-information at the receivers satisfying \emph{fully-participated interactions}. This paper provides optimal linear broadcast rates and corresponding code constructions for all the possible cases of the two-sender unicast index coding problem with fully-participated interactions. The optimal linear broadcast rate and the corresponding code for the two-sender problem are given in terms of those of the three single-sender unicast problems associated with the two-sender problem. Optimal linear broadcast rates of two-sender problems with fully-participated interactions provide lower bounds for the optimal linear broadcast rates of many related two-sender problems with \emph{partially-participated interactions}. Proof techniques used to obtain the results for the two-sender problem are shown to be useful in obtaining the results for some cases of the multi-sender unicast index coding problem.

研究动机与目标

• 确定在完全参与交互条件下，两发送者单播索引编码问题（TUICP）所有情形下的最优线性广播速率及其对应码。
• 将两发送者问题的最优速率表达为三个构成性单发送者单播索引编码问题最优速率的函数。
• 为具有部分参与交互的相关两发送者问题提供最优线性广播速率的紧致下界。
• 将证明技术扩展至多发送者索引编码问题，当精确最优性难以实现时，提供次优但结构化的解决方案。
• 建立一个框架，将求解两发送者TUICP的复杂度降低为求解更简单的单发送者问题。

提出的方法

• 将问题分解为侧信息有向图的三个顶点诱导子有向图，分别对应发送者1、发送者2以及两个发送者共有的消息集。
• 两发送者问题的最优线性广播速率计算为各子有向图最优速率最大值的和：$\beta^{l}_{t}(\mathcal{D},\mathcal{P}) = \max\{\beta^{l}_{t}(\mathcal{D}_1), \beta^{l}_{t}(\mathcal{D}_{\{1,2\}})\} + \max\{\beta^{l}_{t}(\mathcal{D}_2), \beta^{l}_{t}(\mathcal{D}_{\{1,2\}})\} + \beta^{l}_{t}(\mathcal{D}_{\{1,3\}}) + \beta^{l}_{t}(\mathcal{D}_{\{2,3\}}) + \beta^{l}_{t}(\mathcal{D}_{\{1,2,3\}})$。
• 通过组合三个单发送者子问题的最优线性码进行码构造，确保所有接收者能利用其侧信息正确解码。
• 利用交互有向图根据消息可用性和侧信息结构对问题进行分类，其中完全参与交互定义为所有消息交互均被完全共享的情形。
• 将基于子问题分解的证明技术扩展至多发送者场景，当精确最优性难以实现时，提供次优但结构化的解决方案。
• 该框架利用了完全参与情形下最优线性速率作为具有相同子问题结构的部分参与变体的下界这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 当所有交互均完全参与时，两发送者单播索引编码问题的最优线性广播速率是什么？
• RQ2 两发送者问题的最优速率如何用三个单发送者子问题的最优速率表示？
• RQ3 用于完全参与交互的证明技术能否推广至推导部分参与交互情形的界或解？
• RQ4 在完全参与交互下，两发送者TUICP的最优线性码具有何种结构？
• RQ5 完全参与交互的结果如何为更一般的两发送者TUICP实例提供下界？

主要发现

• 对于任意具有完全参与交互的两发送者单播索引编码问题，其最优线性广播速率由三个单发送者子问题最优速率的最大值之和给出，如公式所示：$\beta^{l}_{t}(\mathcal{D},\mathcal{P}) = \max\{\beta^{l}_{t}(\mathcal{D}_1), \beta^{l}_{t}(\mathcal{D}_{\{1,2\}})\} + \max\{\beta^{l}_{t}(\mathcal{D}_2), \beta^{l}_{t}(\mathcal{D}_{\{1,2\}})\} + \beta^{l}_{t}(\mathcal{D}_{\{1,3\}}) + \beta^{l}_{t}(\mathcal{D}_{\{2,3\}}) + \beta^{l}_{t}(\mathcal{D}_{\{1,2,3\}})$。
• 在10个消息且完全参与交互的示例中，最优线性广播速率为 $\beta^{l}_{t}(\mathcal{D},\mathcal{P}) = 5$，其中 $\beta^{l}_{t}(\mathcal{D}_{\{1,2\}}) = 2$，其余均为1。
• 最优线性码通过组合三个单发送者子问题的最优码构造而成，例如 $\mathcal{C}_{\{1,2\}} = ({\bf{x}}_4, {\bf{x}}_8)$ 和 $\mathcal{C}_{\{2,3\}} = {\bf{x}}_5 \oplus {\bf{x}}_6$。
• 结果为具有相同子问题结构的、部分参与交互的两发送者问题提供了非平凡的最优线性广播速率下界。
• 证明技术可扩展至多发送者场景，为在精确最优性难以实现时推导次优解提供框架。
• 该框架将求解两发送者TUICP的复杂度降低为求解三个单发送者单播索引编码问题，显著简化了分析与码设计。