[论文解读] Optimal locally repairable codes of distance $3$ and $4$ via cyclic codes

Yuan Luo, Chaoping Xing+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2018

Advanced Data Storage Technologies参考文献 7被引用 5

一句话总结

该论文通过精心设计的循环码及其特定的生成多项式与校验多项式，在有限域上构造了最小距离为3和4的最优局部可修复码（LRCs）。关键贡献在于首次提出了与字母表大小 $ q $ 无关、长度无界的 $ q $-元最优LRC家族，分别满足局部性 $ r \geq 2 $ 和 $ r \geq 3 $ 的Singleton型界。

ABSTRACT

Like classical block codes, a locally repairable code also obeys the Singleton-type bound (we call a locally repairable code {\it optimal} if it achieves the Singleton-type bound). In the breakthrough work of \cite{TB14}, several classes of optimal locally repairable codes were constructed via subcodes of Reed-Solomon codes. Thus, the lengths of the codes given in \cite{TB14} are upper bounded by the code alphabet size $q$. Recently, it was proved through extension of construction in \cite{TB14} that length of $q$-ary optimal locally repairable codes can be $q+1$ in \cite{JMX17}. Surprisingly, \cite{BHHMV16} presented a few examples of $q$-ary optimal locally repairable codes of small distance and locality with code length achieving roughly $q^2$. Very recently, it was further shown in \cite{LMX17} that there exist $q$-ary optimal locally repairable codes with length bigger than $q+1$ and distance propositional to $n$. Thus, it becomes an interesting and challenging problem to construct new families of $q$-ary optimal locally repairable codes of length bigger than $q+1$. In this paper, we construct a class of optimal locally repairable codes of distance $3$ and $4$ with unbounded length (i.e., length of the codes is independent of the code alphabet size). Our technique is through cyclic codes with particular generator and parity-check polynomials that are carefully chosen.

研究动机与目标

• 构造长度超过 $ q+1 $ 的 $ q $-元最优局部可修复码（LRCs），突破以往的长度限制。
• 解决一个开放问题：对于常数最小距离 $ d \geq 3 $，是否存在长度无界的最优 $ q $-元LRC？
• 提出一种系统化方法，利用具有定制生成多项式的循环码，以实现最优距离与局部性。
• 通过代数数论与多项式根的性质，将已知构造扩展至突破 $ q+1 $ 长度限制，特别是针对 $ d=3 $ 和 $ d=4 $ 的情况。
• 提供 $ n $、$ r $ 和 $ q $ 的显式充分条件，以确保此类最优LRC存在且为循环码。

提出的方法

• 使用生成多项式 $ g(x) $ 构造 $ q $-元循环码，其根对应于 $ x^{n/(r+1)} - \alpha $，其中 $ \alpha $ 是 $ (r+1) $ 次单位原根。
• 施加条件 $ \gcd(n, q) = 1 $，$ \gcd(n, q-1) \equiv 0 \pmod{r+1} $，以及对于 $ d=4 $ 的情况 $ \gcd(n/(r+1), r+1) \mid 2 $，以确保在 $ \mathbb{F}_q $ 中存在所需的根。
• 利用对偶码的最小距离至多为 $ r+1 $ 的事实，通过双对偶距离界确保局部性 $ r $ 的性质。
• 通过在 $ \overline{\mathbb{F}}_q $ 上使用行列式恒等式与根分析，采用反证法证明最小距离 $ d \geq 3 $ 或 $ d \geq 4 $。
• 验证这些码满足Singleton型界 $ d \leq n - k - \lceil k/r \rceil + 2 $ 且取等，从而确认其最优性。
• 构造了一个特殊情形：当长度为 $ 2(q-1) $ 且距离为4时，使用生成多项式 $ g(x) = (x-1)(x-\beta^2)(x^{n/(r+1)} - \alpha) $，其中 $ \beta $ 是 $ n $ 次单位原根。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出长度大于 $ q+1 $ 的最优 $ q $-元局部可修复码，特别是针对 $ d=3 $ 和 $ d=4 $ 的情况？
• RQ2 是否可能构造出与字母表大小 $ q $ 无关、长度无界的最优 $ q $-元LRC，同时保持常数最小距离？
• RQ3 哪些代数条件（关于 $ n $、$ r $ 和 $ q $）能确保距离为3和4的最优循环LRC的存在性？
• RQ4 如何设计具有特定生成多项式的循环码，以同时实现最优距离、局部性与无界长度？
• RQ5 该构造能否扩展至生成最小距离与长度 $ n $ 成比例、且长度为 $ \Omega(q^2) $ 的码？（提出开放问题。）

主要发现

• 该论文构造了一个 $ q $-元最优 $[n, k = n - (1 + n/(r+1)), 3]$ 循环局部可修复码族，其局部性 $ r \geq 2 $，在 $ \gcd(n, q) = 1 $ 且 $ \gcd(n, q-1) \equiv 0 \pmod{r+1} $ 条件下成立。
• 对于距离4的情况，该论文在附加条件 $ \gcd(n/(r+1), r+1) \mid 2 $ 下，构造了 $ q $-元最优 $[n, k = n - (2 + n/(r+1)), 4]$ 循环LRC，其局部性 $ r \geq 3 $。
• 码长 $ n $ 是无界的，且与字母表大小 $ q $ 无关，从而解决了先前构造中的关键限制。
• 通过反证法，结合行列式恒等式与根重数分析，证明了所构造码的最小距离至少为3或4。
• 所构造循环码的对偶码的最小距离至多为 $ r+1 $，从而确保了局部性 $ r $ 的性质。
• 特殊构造得到了一个长度为 $ 2(q-1) $、距离为4的 $ q $-元最优LRC，当 $ r+1 \mid 2(q-1) $ 时，使用包含三个不同根（包括 $ \beta^2 \in \mathbb{F}_q $）的生成多项式。