[论文解读] Optimal Lojasiewicz-Simon inequalities and Morse-Bott Yang-Mills energy functions

Paul M. N. Feehan|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 64被引用 6

一句话总结

本文為巴拿赫流形上的莫尔斯-博特杨-米尔斯能量函数建立了最优的 Łojasiewicz–Simon 梯度不等式，消除了此前要求 Hessian 算子为指标零的弗雷德霍姆算子的限制。它在反自对偶和平坦联络附近，分别证明了自对偶与完整杨-米尔斯能量函数的最优不等式，并将乌伦贝克的平坦联络存在性结果推广至维度 $ d \geq 2 $ 时的临界 $ L^{d/2} $-曲率指数。结果确认了莫尔斯-博特结构，并表明梯度流具有指数收敛性。

ABSTRACT

For any compact Lie group $G$ and closed, smooth Riemannian manifold $(X,g)$ of dimension $d\geq 2$, we extend a result due to Uhlenbeck (1985) that gives existence of a flat connection on a principal $G$-bundle over $X$ supporting a connection with $L^p$-small curvature, when $p>d/2$, to the case of a connection with $L^{d/2}$-small curvature. We prove an optimal Lojasiewicz-Simon gradient inequality for abstract Morse-Bott functions on Banach manifolds, generalizing an earlier result due to the author and Maridakis in arXiv:1510.03817. We apply this result to prove the optimal Lojasiewicz-Simon gradient inequality for the self-dual Yang-Mills energy function near regular anti-self-dual connections over closed Riemannian four-manifolds and for the full Yang-Mills energy function over closed Riemannian manifolds of dimension $d \geq 2$, when known to be Morse-Bott at a given Yang-Mills connection. We also prove the optimal Lojasiewicz-Simon gradient inequality by direct analysis near a given flat connection that is a regular point of the curvature map. We also prove the Morse-Bott property for irreducible Yang-Mills $U(n)$ connections over Riemann surfaces and hence a new proof of the optimal Lojasiewicz-Simon gradient inequality for such critical points.

研究动机与目标

• 为巴拿赫流形上的抽象莫尔斯-博特函数建立最优的 Łojasiewicz–Simon 梯度不等式，且无需假设 Hessian 为指标零的弗雷德霍姆算子。
• 将乌伦贝克关于平坦联络的存在性结果推广至维度 $ d \geq 2 $ 时的临界 $ L^{d/2} $-曲率指数。
• 证明在闭四维流形上，自对偶杨-米尔斯能量函数在反自对偶联络附近满足最优 Łojasiewicz–Simon 不等式。
• 在杨-米尔斯能量函数为莫尔斯-博特时，证明其在平坦联络及任意杨-米尔斯联络附近满足最优不等式。
• 确认在平坦联络处，杨-米尔斯能量函数具有莫尔斯-博特性质，前提是该联络为曲率映射的正则点。

提出的方法

• 通过直接分析方法，为巴拿赫流形上的 $ C^2 $ 莫尔斯-博特函数推导出最优的 Łojasiewicz–Simon 梯度不等式，避免使用有限维化约化。
• 将该抽象不等式应用于闭四维流形上的自对偶杨-米尔斯能量函数，证明其在反自对偶联络附近的最优不等式。
• 通过直接分析方法，证明完整杨-米尔斯能量函数在平坦联络附近的最优不等式，利用梯度截面的横截性建立莫尔斯-博特结构。
• 使用 Hessian 算子 $ \operatorname{\mathscr{Y}\!\!\mathscr{M}}^{\prime\prime}(A_{\infty}) = d_{A_{\infty}}^*d_{A_{\infty}} $，分析其核与像，以验证莫尔斯-博特条件。
• 应用 $ L^2 $-伴随算子与 Hodge 分解，证明当 $ A_{\infty} $ 为平坦联络且具有平凡自稳子时，有 $ \mathbf{H}_{A_{\infty}}^2 = \{0\} $，从而推出临界集光滑。
• 在二维情形下，利用同构 $ \star: \Omega^p(\operatorname{ad}P) \to \Omega^{2-p}(\operatorname{ad}P) $ 关联上同调群，确认调和形式平凡。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设 Hessian 为指标零的弗雷德霍姆算子的条件下，为巴拿赫流形上的莫尔斯-博特函数证明最优的 Łojasiewicz–Simon 梯度不等式？
• RQ2 乌伦贝克关于平坦联络的存在性定理是否可推广至维度 $ d \geq 2 $ 时的临界 $ L^{d/2} $-曲率指数？
• RQ3 自对偶杨-米尔斯能量函数在反自对偶联络附近是否为莫尔斯-博特函数？其是否满足最优的 Łojasiewicz–Simon 不等式？
• RQ4 当曲率映射在平坦联络处为正则点时，完整杨-米尔斯能量函数在平坦联络附近是否满足最优的 Łojasiewicz–Simon 不等式？
• RQ5 当不假设 Hessian 为指标零的弗雷德霍姆算子时，杨-米尔斯能量函数在给定杨-米尔斯联络处是否仍为莫尔斯-博特函数？

主要发现

• 本文证明了在巴拿赫流形上，对抽象莫尔斯-博特函数，无需假设 Hessian 为指标零的弗雷德霍姆算子，可建立最优的 Łojasiewicz–Simon 梯度不等式。
• 将乌伦贝克的结果推广，证明在闭流形上，对 $ W^{1,d/2} $ 类型的联络，若其 $ L^{d/2} $-曲率足够小，则存在平坦联络。
• 自对偶杨-米尔斯能量函数在闭四维流形上反自对偶联络附近满足最优的 Łojasiewicz–Simon 不等式。
• 当曲率映射 $ A \mapsto F_A $ 在平坦联络处为正则点时，完整杨-米尔斯能量函数在该点附近满足最优的 Łojasiewicz–Simon 不等式，从而确认了莫尔斯-博特结构。
• 当 $ \mathbf{H}_{A_{\infty}}^2 = \{0\} $ 时，杨-米尔斯能量函数的临界集在平坦联络 $ A_{\infty} $ 附近为光滑子流形，该条件在 $ A_{\infty} $ 具有平凡自稳子且 $ \dim X = 2 $ 时成立。
• 临界集在 $ A_{\infty} $ 处的切空间为 $ T_{A_{\infty}}\operatorname{Crit}\mathscr{Y}\!\!\mathscr{M} = \ker \mathscr{Y}\!\!\mathscr{M}^{\prime\prime}(A_{\infty}) $，从而确认了莫尔斯-博特性质。