[论文解读] Optimal Parisian-type dividends payments discounted by the number of claims for the perturbed classical risk process

Irmina Czarna, Yanhong Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Probability and Risk Models参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文研究了在带巴黎式破产与索赔次数依赖贴现的扰动经典风险过程中最优股息策略的问题。它刻画了在屏障策略下的值函数，推导了最优性的充分条件，并针对指数分布的索赔规模给出了显式解，表明在巴黎延迟下最优屏障会发生变化。

ABSTRACT

In this paper we consider a classical risk process perturbed by a Brownian motion. We analyze the value function describing the mean of the cumulative discounted dividend payments paid up to Parisian ruin time and further discounted by the number of claims appeared up to this ruin time. We identify this value function for the barrier strategy and find the sufficient conditions for this strategy to be optimal. We also consider few particular examples.

研究动机与目标

• 在由几何布朗运动扰动的风险过程中建模股息支付，同时引入巴黎式破产与索赔次数依赖的贴现。
• 分析表示至巴黎式破产时刻累计贴现股息的值函数，其中额外根据索赔次数加权。
• 在充分条件下识别屏障策略为最优，将经典结果扩展至更现实的破产与贴现框架。
• 在索赔规模为指数分布的情况下，提供值函数的显式解。
• 通过数值示例和HJB方程的验证，确认屏障策略的最优性。

提出的方法

• 构建一个组合过程，结合复合泊松过程以描述大额索赔，以及布朗运动以描述小幅波动。
• 将巴黎式破产定义为盈余连续保持负值的首次时间 $ d \geq 0 $，推广经典破产（$ d = 0 $）。
• 引入一个值函数，通过 $ r^{N_{\tau^{\pi,d}}} $ 对累计股息进行贴现，其中 $ N_{\tau^{\pi,d}} $ 是至破产时刻的索赔次数。
• 应用汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程框架，推导屏障策略最优性的必要条件。
• 使用积分变换与递归卷积技术，求解指数索赔规模下的值函数。
• 通过检查 $ (\Gamma - q)v \leq 0 $ 进行数值验证，以确认所推导屏障水平的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 引入巴黎式破产后，对扰动经典风险模型中的最优股息策略有何影响？
• RQ2 对破产前索赔次数的股息贴现如何影响最优策略与值函数？
• RQ3 在同时考虑巴黎式破产与索赔次数贴现时，屏障策略在何种条件下为最优？
• RQ4 最优屏障水平如何随巴黎延迟参数 $ d $ 变化？
• RQ5 当索赔规模为指数分布时，能否为值函数推导出显式解？

主要发现

• 在屏障策略下，值函数对 $ d = 0 $（经典破产）与 $ d > 0 $（巴黎式破产）均给出了显式推导。
• 对于指数分布的索赔规模，值函数分量 $ \vartheta(x) $ 与 $ \varrho(x) $ 通过包含修正贝塞尔函数与指数积分的无穷级数表达。
• 在参数集 $ \lambda = 10, \mu = 1, c = 15, q = 0.1, r = 0.8 $ 下，$ d = 0 $ 时最优屏障水平数值求得为 $ a^* \approx 0.7693 $，$ d = 2 $ 时为 $ b^* \approx 0.52202 $。
• 对于 $ a^* $ 与 $ b^* $，条件 $ (\Gamma - q)v \leq 0 $ 均成立，通过HJB验证定理确认其最优性。
• 引入索赔次数贴现后，最优屏障水平较经典模型降低，反映出高索赔频率带来的更大惩罚。
• 数值结果确认了该算法在精算风险管理中实际应用的可行性。