[论文解读] Optimal Scalar Linear Codes for Some Classes of The Two-Sender Groupcast Index Coding Problem

A Chinmayananda, B. Sundar Rajan|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 24被引用 4

一句话总结

本论文通过利用三个互不相交的单发送者子问题中的最优码，提出了一种构造特定类别两发送者组播索引编码问题（TGICP）最优标量线性码的方法。它引入了多个单发送者组播索引编码问题（SGICPs）的联合扩展概念，识别出一类可从子问题码构造出最优码的类别，并提供了最优性的必要条件，从而在所识别的情况下实现了最小聚合码长。

ABSTRACT

The two-sender groupcast index coding problem (TGICP) consists of a set of receivers, where all the messages demanded by the set of receivers are distributed among the two senders. The senders can possibly have a set of messages in common. Each message can be demanded by more than one receiver. Each receiver has a subset of messages (known as its side information) and demands a message it does not have. The objective is to design scalar linear codes at the senders with the minimum aggregate code length such that all the receivers are able to decode their demands, by leveraging the knowledge of the side information of all the receivers. In this work, optimal scalar linear codes of three sub-problems (considered as single-sender groupcast index coding problems (SGICPs)) of the TGICP are used to construct optimal scalar linear codes for some classes of the TGICP. We introduce the notion of joint extensions of a finite number of SGICPs, which generalizes the notion of extensions of a single SGICP introduced in a prior work. An SGICP $\mathcal{I}_E$ is said to be a joint extension of a finite number of SGICPs if all the SGICPs are disjoint sub-problems of $\mathcal{I}_E$. We identify a class of joint extensions, where optimal scalar linear codes of the joint extensions can be constructed using those of the sub-problems. We then construct scalar linear codes for some classes of the TGICP, when one or more sub-problems of the TGICP belong to the above identified class of joint extensions, and provide some necessary conditions for the optimality of the construction.

研究动机与目标

• 为解决两发送者组播索引编码问题（TGICP），其中消息分布在两个发送者之间，接收者具有任意的侧信息和需求。
• 通过利用TGICP子问题之间的结构性关系，降低聚合码长。
• 开发一种利用互不相交的单发送者子问题中的最优码来构造最优标量线性码的框架。
• 引入并表征一类多个SGICP的联合扩展，其在码构造中保持最优性。
• 建立在特定TGICP类别中所构造码最优性的必要条件。

提出的方法

• 将TGICP分解为三个互不相交的单发送者组播索引编码问题（SGICPs），彼此之间无共享消息。
• 引入联合扩展的概念，即通过组合多个互不相交的SGICPs形成一个单一问题，使得每个子问题仍保持为子问题。
• 识别出一类联合扩展，其中国优标量线性码可从构成子问题的最优码中构造出来。
• 该构造依赖于匹配矩阵和有限域上的秩最小化，最优码长由子问题匹配矩阵最小秩之和决定。
• 使用矩阵填充技术，对联合扩展的组合匹配矩阵进行特定构造，确保子问题填充结果的行空间在整体解中得以保持。
• 基于子问题匹配矩阵与联合扩展匹配矩阵之间的秩关系，推导出最优性的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用其单发送者子问题中的最优码，为两发送者组播索引编码问题的某些类别构造出最优标量线性码？
• RQ2 子问题的何种结构性条件使得联合问题的最优码可由各子问题的最优码导出？
• RQ3 如何形式化多个SGICP的联合扩展概念，以在码构造中保持最优性？
• RQ4 在联合扩展的背景下，所构造码最优性的必要条件是什么？
• RQ5 在何种条件下，联合问题的聚合码长等于各子问题码长之和？

主要发现

• 对于子问题构成三个互不相交SGICPs的联合扩展的一类TGICP实例，最优标量线性码长由子问题匹配矩阵最小秩之和给出。
• 为一个具体示例（$\mathbb{F}_2$）提供了最优码构造，总码长为5，与理论下限一致。
• 当满足秩层次关系 $r_1 \geq r_{\{1,2\}} \geq r_2$ 且问题的交互有向图为 $\mathcal{H}_{62}$ 时，该构造有效。
• 联合扩展框架确保子问题的最优填充可组合为联合匹配矩阵的全局最优填充。
• 最优性的必要条件是：组合匹配矩阵的行空间必须由联合填充的前 $r_{\{1,2\}}$ 行张成，从而保持子问题的结构。
• 该方法推广了先前关于单发送者索引编码的研究成果，并将其扩展至具有共享消息分布的两发送者组播场景。