[论文解读] Optimal simplex finite-element approximations of arbitrary order in curved domains circumventing the isoparametric technique

Vitoriano Ruas|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 15被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种新型有限元方法，在不使用等参数单元的情况下，实现了在曲边区域中的最优逼近精度。通过在直边网格上采用基于多项式的插值，并利用几何投影定义边界节点，该方法在保持最优收敛速率的同时，实现了精确积分并简化了二维和三维任意阶拉格朗日单元的实现。

ABSTRACT

Since the 1960's the finite element method emerged as a powerful tool for the numerical simulation of countless physical phenomena or processes in applied sciences. One of the reasons for this undeniable success is the great versatility of the finite-element approach to deal with different types of geometries. This is particularly true of problems posed in curved domains of arbitrary shape. In the case of function-value Dirichlet conditions prescribed on curvilinear boundaries method's isoparametric version for meshes consisting of curved triangles or tetrahedra has been mostly employed to recover the optimal approximation properties known to hold for standard straight-edged elements in the case of polygonal or polyhedral domains. However, besides obvious algebraic and geometric inconveniences, the isoparametric technique is helplessly limited in scope and simplicity, since its extension to degrees of freedom other than function values is not straightforward if not unknown. The purpose of this paper is to propose, study and test a simple alternative that bypasses all the above drawbacks, without eroding qualitative approximation properties. More specifically this technique can do without curved elements and is based only on polynomial algebra. REMARKS : First submission (dated Jan. 3, 2017) updated on Jan. 11, 2017 with the addition of a footnote on author's research grant. A third version with several improvements was posted on Nov. 2, 2017. The fourth version incorporated some findings during the revision of a related paper. In the fifth version, besides minor changes, the convection-diffusion equation became the model problem; the text was reviewed in order to highlight the advantages of the new approach over classical techniques, more particularly by means of additional numerical examples.

研究动机与目标

• 为克服等参数有限元在曲边区域中的局限性，特别是有理函数积分的复杂性以及难以推广至非函数值自由度的问题。
• 开发一种简单且可实现的替代方法，确保在二维和三维曲边区域中任意阶拉格朗日单元的最优收敛速率。
• 在无需使用曲边单元或复杂几何映射的情况下实现最优逼近，尤其适用于法向分量或导数作为自由度的问题。
• 提供一种支持精确数值积分的框架，避免因边界节点位置选择导致的精度损失。
• 在不牺牲稳定性或收敛特性的情况下，将高阶有限元方法扩展至复杂几何形状。

提出的方法

• 该方法在曲边区域中使用直边单形网格（三角形/四面体），通过几何投影定义边界节点，避免使用等参数映射。
• 边界自由度通过在真实曲边边界上放置插值点来强制实现，这些点是通过在二面角平分面所定义的薄层区域内，从边节点引出的垂线与边界的交点确定的。
• 对于具有边界面的每个单元，概念上将新的曲边单元定义为原始单元与网格面和真实边界之间区域的并集，从而实现一致的节点布置。
• 函数空间 $ W_h $ 通过在直边单元上的拉格朗日节点和在曲边边界上的投影节点构建，确保在二维中保持连续性与协调性，在三维中保持拟协调性。
• 采用与标准有限元方法相同的变分结构，但通过修改插值点以在真实边界上强制施加狄利克雷条件，应用伽辽金弱形式。
• 通过使用直边单元和多项式插值，所有被积函数保持为多项式，从而确保全程精确积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不使用等参数单元的情况下，在曲边区域中实现最优收敛速率？
• RQ2 如何仅通过直边单元和多项式代数在曲边界上强制施加狄利克雷边界条件？
• RQ3 是否可能在简化实现并实现精确积分的同时，保持最优逼近性质？
• RQ4 边界节点位置对高阶有限元方法中收敛速率的影响是什么？
• RQ5 该方法是否可推广至三维问题及混合有限元格式？

主要发现

• 所提出的方法在曲边区域中对任意阶拉格朗日有限元实现了能量范数下的最优收敛速率，其性能与等参数方法相当。
• 在二维情况下，该方法确保了最优的 $ L^2 $-误差估计，据作者所知，这是该类问题中前所未有的成果。
• 由于所有被积函数保持为多项式，该方法能够实现刚度矩阵的精确数值积分，避免了等参数格式中固有的求积误差。
• 该方法在二维和三维中均具有鲁棒性且易于实现，无需使用曲边单元或复杂的几何映射。
• 该方法自然适用于法向导数或法向分量等非函数值自由度的问题，而等参数方法在这些情形下或未定义，或难以构造。
• 在二维和三维中均建立了离散问题的存在性、唯一性及一致稳定性的理论结果，误差估计可推广至三维，尽管技术复杂度有所增加。