[论文解读] Optimal Stopping for Strong Markov Processes: Explicit solutions and verification theorems for diffusions, multidimensional diffusions, and jump-processes

Fabián Crocce|Americanae (AECID Library)|May 29, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文为强马氏过程（包括扩散过程、多维扩散过程和跳跃过程）的最优停时问题提供了显式解和验证定理。它结合了Dynkin关于值函数为支配奖励函数的最小α-过度函数的表征，以及Salminen通过Green核的Riesz表示，使得一维扩散过程、跳跃过程（包括非Lévy过程）和多维扩散过程能够实现解析与数值求解，应用包括美式看跌期权和Lévy驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程。

ABSTRACT

We consider the optimal stopping problem consisting in, given a strong Markov process, a reward function and a discount rate, finding the stopping time such that the expected reward at the stopping time is maximum. The approach we follow, has two main components: the Dynkin's characterization of the value function as the smallest excessive function dominating the reward; and the Riesz representation of excessive functions in terms of the Green kernel, the main reference being Salminen 85. In the context of one-dimensional diffusions we give a complete characterization of the solution under some assumptions on the reward function. If the optimal stopping problem is a ray, we provide a simple equation to find the boundary and discuss the validity of the smooth fit principle. We include some new examples as the optimal stopping of the skew Brownian motion and the sticky Brownian motion. In particular, we consider cases in which the smooth fit principle fails. In the general case, we propose an algorithm that finds the optimal stopping region when it is a disjoint union of intervals. We also give a simple formula for the value function. Using this algorithm we solve some examples including polynomial rewards. For general Markov processes with continuous sample paths (for instance multidimensional diffusions) we provide a verification theorem and use it to solve a particular problem. Finally we consider one-dimensional strong Markov processes with only positive (or only negative) jumps, and provide another verification theorem for right-sided (left-sided) problems. As applications of our results we address the problem of pricing an American put option in a Lévy market, and also solve an optimal stopping problem for a Lévy driven Ornstein-Uhlenbeck process.

研究动机与目标

• 为强马氏过程（包括扩散过程和跳跃过程）的最优停时问题提供显式解。
• 为一维扩散过程、多维扩散过程以及单边跳跃过程（仅正或仅负跳跃）开发验证定理。
• 解决具体问题，如Lévy市场中的美式看跌期权和Lévy驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程的最优停时问题。
• 扩展光滑贴合原理，并分析其在偏斜和黏性Bm等情形下失效的情况。
• 提出一种数值算法，用于计算最优停时区域（当其为区间的不相交并集时）。

提出的方法

• 使用Dynkin的表征：值函数为支配奖励函数g的最小α-过度函数。
• 应用Salminen的Riesz表示，通过Green核Gα(x,y)表达α-过度函数。
• 采用傅里叶方法对Green核的特征函数进行数值反演，以实现计算实现。
• 提出一种数值算法，用于确定最优停时区域为区间的不相交并集，并给出值函数的闭式公式。
• 为一维扩散过程和单边跳跃过程（仅正或仅负跳跃）推导验证定理。
• 利用理论框架求解具体问题，包括带跳和不带跳的Ornstein-Uhlenbeck过程，并通过数值方法验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当最优区域为单边时，一维扩散过程中最优停时问题的显式解是什么？
• RQ2 在偏斜或黏性Bm等过程中，如何验证或证明光滑贴合原理的失效？
• RQ3 能否构建一种通用算法，用于确定为区间的不相交并集的最优停时区域？
• RQ4 Lévy驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程中最优停时问题的值函数是什么？
• RQ5 如何利用傅里叶反演对Green函数进行数值近似，以用于验证和计算？

主要发现

• 对于带跳的Ornstein-Uhlenbeck过程（α=1），最优停时阈值为x*=1.1442，通过Green核与傅里叶反演数值求得。
• 对于纯Ornstein-Uhlenbeck过程（无跳，α=1），最优阈值为x*≈0.5939，与Taylor（1968）一致。
• 本文首次给出了非Lévy跳跃过程最优停时问题的显式解，证明了该方法的创新性。
• 证明值函数Vα(x)在继续区域严格支配奖励函数g(x)，验证了验证定理的条件。
• 基于离散傅里叶变换的数值方法可准确近似Green函数Gα(x,y)，从而实现值函数的实际计算。
• 理论结果证实，光滑贴合原理可能失效，如在偏斜和黏性Bm的实例中所示。